Question

No Campeonato Brasileiro de Futebol de 2017, os times do Atlético Mineiro e da Chapecoense terminaram exatamente com a mesma pontuação: 54 pontos. Sabe-se que a pontuação é computada da seguinte forma: se um time vence, marca 3 pontos; se empata, marca 1 ponto; e, se perde, não marca nenhum ponto. O primeiro critério de desempate utilizado é o número de vitórias, ou seja, o time que possui mais vitórias fica mais bem colocado. No total, cada time disputou 38 jogos, e o Chapecoense venceu 15 jogos. Para o Atlético, temos a seguinte informação: o número de vitórias mais o número de derrotas é igual a duas vezes o número de empates mais dois. Seguindo o que se pede, descubra qual dos dois times ficou melhor colocado e, consequentemente, conquistou a última vaga para disputar o importante campeonato Libertadores da América.

Answer 1

O Chapecoense ficou melhor colocado e conquistou a última vaga para disputar o importante campeonato Libertadores da América.

Explicação:

a = número de vitórias

b = número de derrotas

c = número de empates

Como cada time disputou 38 jogos, temos:

a + b + c = 38

Chapecoense

Como teve 15 vitórias, a = 15.

Atlético Mineiro

"o número de vitórias mais o número de derrotas é igual a duas vezes o número de empates mais dois"

a + b = 2·c + 2

Logo,

a + b = 2c + 2

a + b - 2c = 2  (I)

Sabemos que: a + b + c = 38. Então:

b = 38 - a - c  (II)

O número de pontos é dado por:

P = 3a + 0b + 1c

P = 3a + c

Como marcou 54 pontos, temos:

54 = 3a + c

c = 54 - 3a  (III)

Substituindo (II) e (III) em (I), temos:

a + b - 2c = 2

a + (38 - a - c) - 2(54 - 3a) = 2

a + 38 - a - (54 - 3a) - 2(54 - 3a) = 2

38 - 54 + 3a - 108 + 6a = 2

-124 + 9a = 2

9a = 2 + 124

9a = 126

a = 126/9

a = 14

Portanto, o Atlético Mineiro teve 14 vitórias.

O Chapecoense tem 1 vitória a mais.

Answer 2

a+b+c=38

a+b-2c=2c

3a+c=54

Matriz coeficientes:

d= 1 1 1 1 1

1 1 -2 1 1

3 0 1 3 0

1-6+0-1(1-0+3)

1-6+0-1+0-3=9

Escalonamento:

a+b+c=38

a+b-2=2   L2=L1-L2

3a+c=54

a+b+c=38           Subs 1       L3=3a+L2=54

c=12                                 3a=54-12

3a+c=54                       a=42=14

                                          3

 

    Subs 2        L1=14+b+12=38

     b=38-26=12

Regra de Cramer

a= 38 1 1 38 1

2 1 -2 2 1

54 0 1 54 0

38-108+0-(2+0+54)

38-108-2-54=-126

d a=-126=14

  d     -9

db= 1 38 1 1 38

1 2 2 1 2

3 54 1 3 54

2-228+54-(38108+6)

2-228+54-38+108-6

-108    db=db=-108=12

                 d      -9

dc= 1 1 38 1 1

1 1 2 1 1

3 0 54 3 0

54+6+0-(54+0+114)

54+6-54-114=-108

dc=dc=-108=12

     d       -9

A Chapecoense foi campeão por ter uma vitoria a mais que o Atletico Mineiro.