Question

(0.1) Questão 03:
Uma carga elétrica é distribuída sobre um disco x2 + y2 < 4
de modo que a densidade de carga em (x,y) seja o(x,y) =
x + y + x'2 + y'2. Sabendo disso, determine a carga total no
disco, medida em coulombs por metro quadrado.
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Answer 1

A carga total no disco é igual a 8π C/m².

A carga total no disco é dada pela integral dupla a seguir:

$Q = \int\limits \int\limits {\sigma(x,y)} \, dA$

A região de integração D é o disco dado por x² + y² ≤ 4 que pode ser escrito em coordenadas polares como 0 ≤ r ≤ 2 e 0 ≤ θ ≤ 2π. Temos então:

$Q = \int\limits \int\limits {x+y+x^2+y^2} \, dA$

Em coordenadas polares, temos que:

x = r.cosθ

y = r.senθ

A integral fica:

$Q = \int\limits_0^{2\pi} \int\limits_0^{2\pi} {(r.cos\theta + r.sen\theta+(r.cos\theta)^2 + (r.sen\theta)^2)r} \, drd\theta\\\\Q = \int\limits_0^{2\pi} \int\limits_0^{2\pi} {(r^2.cos\theta + r^2.sen\theta+r^3)} \, drd\theta$

Resolvendo, temos:

$Q = \int\limits_0^{2\pi} {\left(\dfrac{r^3}{3}cos\theta + \dfrac{r^3}{3}sen\theta+\dfrac{r^4}{4}\right)|_0^2} \, d\theta\\\\Q = \int\limits_0^{2\pi} {\left(\dfrac{8}{3}cos\theta + \dfrac{8}{3}sen\theta+4\right)} \, d\theta\\\\Q = \left(\dfrac{8}{3}sen\theta - \dfrac{8}{3}cos\theta+4\theta\right)|_0^{2\pi}\\\\Q = \left(-\dfrac{8}{3} +8\pi\right) - \left(-\dfrac{8}{3}\right)\\Q = 8\pi$