Question

Determine o vetor unitário ortogonal aos vetores V1= (-1,-1,0) e V2= (0,-1,-1)

Answer 1

Primeiro, devemos achar um vetor ortogonal aos vetores V₁ e V₂

É natural acharmos o produto vetorial de V₁ e V₂:

$\vec{v}=\vec{V_{1}}~x~\vec{V_{2}}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{I}&\vec{J}&\vec{K}\\-1&-1&0\\0&-1&-1\end{array}\right|\\\\\\\vec{I}(-1)(-1)+(-1)(-1)\vec{K}+\vec{J}(0)(0)-\vec{K}(-1)(0)-\vec{J}(-1)(-1)-0(-1)\vec{I}\\\\\\\vec{v}=\vec{I}+\vec{K}+0+\vec{0}-\vec{J}-0\\\\\\\vec{v}=\vec{I}-\vec{J}+\vec{K}\\\\\\v=(1,~0,~0)-(0,~1,~0)+(0,~0,~1)\\\\\\\boxed{\boxed{\vec{v}=1,-1,~1}}$
_____________________

Qualquer vetor múltiplo do produto vetorial V₁xV₂ será ortogonal aos vetores V₁ e V₂

Então, queremos achar um vetor múltiplo de v que possui módulo 1

Sendo esse vetor w, temos que w = (x, y, z), onde:

$||\vec{w}||=1~~~\therefore~~~\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=1~~~\therefore~~~\boxed{\boxed{x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}}$

Sendo w = αv (múltiplo de v):

$\vec{w}=\alpha\cdot\vec{v}\\\vec{w}=\alpha\cdot(1,-1,~1)\\\vec{w}=(\alpha,-\alpha,~\alpha)$

Igualando o módulo de w a 1:

$||\vec{w}||=1\\||\vec{w}||^{2}=1^{2}\\||\vec{w}||=1\\x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\\\alpha^{2}+(-\alpha)^{2}+\alpha^{2}=1\\2\alpha^{2}+\alpha^{2}=1\\3\alpha^{2}=1\\\alpha^{2}=1/3\\\alpha=\pm\sqrt{1/3)}\\\alpha=\pm\sqrt{3}/3$

Podemos escolher um valor pra alfa. Vou escolher o positivo:

$\boxed{\boxed{\alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{3}}}$

Então w será:

$\vec{w}=(\alpha,-\alpha,~\alpha)\\\\\\\boxed{\boxed{\vec{w}=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3},-\dfrac{\sqrt{3}}{3},~\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)}}$