Question

Os pontos M, N e P são médios dos lados de um triângulo equilátero de lado medindo 30 cm. Qual o perímetro do triângulo MNP? [Assunto elementos notáveis
de um triângulo]

Answer 1

Vamos chamar aos vértices do triângulo equilátero de lados medindo 30 cm de A, B e C. Assim, o ponto M será o ponto médio do lado BC, N o ponto médio do lado AC e P o ponto médio do lado AB.
O triângulo MNP é semelhante ao triângulo ABC, pois os seus lados são:
PN, paralelo ao lado BC;
MN, paralelo ao lado AB;
MP, paralelo ao lado AC.
A razão de semelhança entre estes dois triângulos pode ser obtida ao relacionarmos, por exemplo, o triângulo APN com o triângulo ABC:
AP/AB = PN/BC = AN/AC
Como AP é a metade de AB (pois P é ponto médio de AB), como AN é a metade de AC (pois N é ponto médio de AC), PN também será a metade de BC. Como este raciocínio também vale para os lados MN e PM do triângulo MNP, chegamos à conclusão que cada um dos lados deste triângulo mede 15 cm (30 cm ÷ 2).
Assim, o perímetro do triângulo MNP é igual a 3 vezes 15 cm, ou seja, é igual a 45 cm.