Question

Sendo IR- {1,2}, a soma das raizes da equação 2/x-1 + 1/x-2 = 2 é:
(A) -3
(B) 1/3
(C) 3
(D) 9/2
(E) 9​

Answer 1

Olá, vamos lá.

Temos a seguinte equação:

$\dfrac{2}{x-1} +\dfrac{1}{x-2}=2$

Para somar frações de denominadores diferentes, geralmente fazemos o MMC (mínimo múltiplo comum), porém, neste caso, não é possível, pois desconhecemos o valor de "x". Para tal, podemos achar um múltiplo comum multiplicando os denominadores.

Então temos, como novo denominador:

$(x-1)\cdot(x-2)$

Agora, temos que mudar os numeradores também, então, "divide pelo debaixo, e multiplica pelo de cima":

$\dfrac{2\cdot(x-2)}{(x-1)\cdot(x-2)}+\dfrac{1\cdot(x-1)}{(x-1)\cdot(x-2)}=2$

Fazendo a distributiva chegamos até:

$\dfrac{2x-4}{x^2-2x-1x+2}+\dfrac{1x-1}{x^2-2x-1x+2}=2$

Por fim:

$\dfrac{2x-4}{x^2-3x+2}+\dfrac{x-1}{x^2-3x+2}=2$

Agora, que ambas frações possuem denominadores iguais, podemos juntar em uma:

$\dfrac{2x-4+x-1}{x^2-3x+2}=2$

$\dfrac{3x-5}{x^2-3x+2}=2$

Multiplicando em "cruz":

$3x-5=2(x^2-3x+2)$

$3x-5=2x^2-6x+4$

Colocando em apenas um lado da igualdade, para igualar a zero:

$2x^2-6x+4-(3x-5)=0$

$2x^2-6x+4-3x+5)=0$

$2x^2-9x+9=0$

Agora temos uma equação de segundo grau. Usemos Bháskara para solucioná-la.

Tendo em vista:

a = 2

b = -9

c = 9

Vamos à fórmula:

$\Delta=b^2-4ac$

$\Delta=(-9)^2-4\cdot2\cdot9$

$\Delta=81-72$

$\Delta=9$

Segunda parte:

$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$

$x=\dfrac{-(-9)\pm\sqrt{9}}{2\cdot2}$

$x=\dfrac{9\pm3}{4}$

$x_1=\dfrac{9+3}{4} =\dfrac{12}{4} =3$

$x_2=\dfrac{9-3}{4} =\dfrac{6}{4} =\dfrac{3}{2}$

Ele quer "a soma das raízes":

$\dfrac{3}{2}+3$

Fazendo MMC (2,1)=2

$\dfrac{3}{2}+\dfrac{6}{2}$

Então a resposta é:

$\boxed{\dfrac{9}{2}}$

Alternativa D

Espero que tenha compreendido, bons estudos.