Question

Um dado de 6 faces foi fabricado de tal modo que a probabilidade de um número ocorrer quando o dado é lançado é proporcional ao número considerado (exemplo: a probabilidade de ocorrer 6 é o dobro da probabilidade de 3). Considere os eventos: A) ocorre um número par. B) ocorre um número primo.
Calcule:
1) a probabilidade de cada amostral
2) P(A) e P(B)
3) A probabilidade de ocorrer B e não ocorrer A

Answer 1

Resposta: Item 1) Encontra-se abaixo ; Item 2) P(A) = 4/7 e Item 3) P(B) = 8/21

Explicação passo-a-passo:

É sabido que a probabilidade de ocorrer determinado número (de um a seis) é proporcional ao número considerado. Com isso temos:

Probabilidade de ocorrer o número 1 (um) é x =>

Probabilidade de ocorrer o número 2 (dois) é 2x

Probabilidade de ocorrer o número 3 (três) é 3x

Probabilidade de ocorrer o número 4 (quatro) é 4x

Probabilidade de ocorrer o número 5 (cinco) é 5x

Probabilidade de ocorrer o número 6 (seis) é 6x

Sabemos também que a soma das probabilidades de todos esses eventos mutuamente exclusivos (ou disjuntos, pois existe apenas um única possibilidade para o número que resultará no dado, não podendo resultar em dois valores distintos, e com isso excluindo a possibilidade deles ocorrerem simultaneamente) é 100% = 1. Com isso temos:

x + 2x + 3x + ... + 6x = 1 =>

x(1 + 2 + ... + 6) = 1 =>

x.6.7/2 = 1 =>

21x = 1 =>

x = 1/21

Item 1)

Probabilidade de ocorrer o número 1 (um) é x = 1/21

Probabilidade de ocorrer o número 2 (dois) é 2x = 2/21

.

.

.

Probabiidade de ocorrer o número 6 (seis) é 6x = 6/21

Item 2)

Como os eventos são disjuntos (não podem ocorrer nem mesmo dois eventos distintos ao mesmo tempo), basta que adicionemos as respectivas probabilidades. Co isso:

P(A) = Probabilidade de ocorrer um número par =>

P(A) = Probabilidade de ocorrer o número 2 + Probabilidade de ocorrer o número 4 + Probabilidade de ocorrer o número 6 =>

P(A) = 2/21 + 4/21 + 6/21 =>

P(A) = (2 + 4 + 6)/21 =>

P(A) = 12/21 =>

P(A) = 4/7

Item 3)

P(B) = Probabilidade de ocorrer um número primo e não ocorrer um número par =

Probabilidade de ocorrer um número primo que não é par =>

P(B) = Probabilidade de ocorrer o número 3 + Probabilidade de ocorrer o número 5 =>

P(B) = 3/21 + 5/21 =>

P(B) = (3 + 5)/21 =>

P(B) = 8/21

Abraços!