Question

Determine a fórmula fechada da seguinte relação de recorrência:
an = an-1 + 3 × 5n + n sendo a1 = 1, para n ≥ 2. Justifique.

Answer 1

Resposta:

$a_n=8n^2+8n+(i-16)$

Explicação passo-a-passo:

Inicialmente, precisamos determinar alguns valores utilizando a relação de recorrência fornecida. Então, podemos analisar seu comportamento e determinar a fórmula fechada para esta sequência.

$a_1=1\\ \\ n=2\\ a_2=1+3\times 5\times 2+2=33\\ \\ n=3\\a_3 =33+3\times 5\times 3+3=81\\ \\ n=4\\ a_4=81+3\times 5\times 4+4=145$

Veja que, neste caso, consideramos a₁ = 1. Note também que a diferença entre os termos é sempre maior que a anterior, então temos uma equação de segundo grau. Com três valores, podemos determinar essa função:

$y=ax^2+bx+c\\ \\ 33=4a+2b+c\\ 81=9a+3b+c\\ 145=16a+4b+c\\ \\ y=8x^2+8x-15\rightarrow a_n=8n^2+8n-15$

Agora, note o seguinte: caso consideramos a₁ = 2, vamos ter mais 1 somado a função. Desse modo, caso o primeiro termo seja um número qualquer i, temos a seguinte relação:

$a_n=8n^2+8n+(i-16)$