Question

Sabendo que sen x + cos x = 1/4, determine o valor de sen 2x. Alguém responda com explicação, por favoooor

Answer 1

Resposta:

sen² x = 15/16

Explicação passo-a-passo:

A questão nos fornece a expressão abaixo:

                                           senx + cosx = 1/4

Existe uma relação fundamental da trigonometria que diz que o quadrado do seno de um ângulo x mais o quadrado do cosseno do mesmo ângulo x será igual a uma unidade, ou seja, temos a expressão abaixo:

                                            sen²x + cos²x = 1

Fazendo um sistema de equações com as duas expressões, temos:

                                         sen²x + cos²x = 1

                                         senx + cosx = 1/4

Passando os elementos da segunda expressão, conseguimos obter o valor para o cosx, como mostra abaixo:

                                       sen²x + cos²x = 1

                                       senx + cosx = 1/4 => cosx = 1/4 -senx

Agora podemos resolver o sistema de equações pelo método da substituição, ou seja, substituindo o valor de cosx na primeira equação. Assim, obtemos a expressão abaixo:

                                    sen²x + (1/4 - senx)²= 1    

Desenvolvendo esta equação utilizando produtos notáveis, obtemos a seguinte expressão:

                                 sen²x + 1/16 + senx/2 + sen²x = 1

Resolvendo a expressão acima chegamos a uma conclusão, achando o valor de sen²x, conforme a expressão abaixo:

                               sen²x = 15/32 - senx/4

Para calcularmos sen²x, precisamos descobrir o valor de senx/4. Para isso, podemos usar a relação que obtivemos acima na resolução do sistema de equações. Usaremos a expressão cosx = 1/4 -senx.

Se sen²x = 15/32 - senx/4, temos a equação abaixo:

                             senx = √(15/32 - senx/4)

Substituindo a equação de senx que obtivemos acima na de cosx, temos:

                              cosx = 1/4 - √(15/32 - senx/4)

Para resolvermos esta equação, deveremos elevar toda a equação ao quadrado para remover a raiz quadrada do segundo membro da equação. Fazendo isso, temos:

                           cos²x = (1/4)² - (√15/32 - senx/4)²

Feito isto e desenvolvendo o restante da equação acima, conseguimos encontrar o valor de cos²x, que é:

                             cos²x = -13/32 -senx/4

Utilizando o princípio fundamental da trigonometria (primeira equação do sistema de equações feito) novamente, conseguimos calcular o valor de senx/4, visto que sabemos os valores de sen²x e cos²x. Substituindo os valores encontrados, temos:

                             15/32 - senx/4 - 13/32 -senx/4 = 1

Podemos tirar o m.m.c de todos os elementos da equação para realizarmos a soma dos elementos. Sendo assim, obtemos a expressão abaixo:

                         (15 - 8senx - 13 - 8senx = 32)/32

Visto que tiramos o mmc de TODA a equação, podemos cancelar o denominador 32, sobrando apenas a expressão abaixo:

                         15 - 8senx - 13 - 8senx = 32

Desenvolvendo a expressão acima, conseguimos obter o valor de senx, conforme abaixo:

                         senx = -15/8

Com isso, finalmente podemos calcular o que a questão pede, que é o valor de sen²x. Para isso, iremos utilizar a equação de sen²x que desenvolvemos. Substituindo o valor de senx que acabamos de achar, teremos o seguinte:

                             sen²x = 15/32 - (-15/8)/4

Resolvendo esta equação, temos que sen²x = 15/16

Tentei explicar da maneira mais fácil possível, pois esta questão é um pouco complexa. Espero que tenha entendido!