Question

A quantidade de bactérias presentes numa cultura controlada, em um instante t, medidos em horas, pode ser calculada pela equação:
N(t) = 150e
t 3
(a) Qual a quantidade inicial de bactérias? (b) Qual a quantidade depois de 1 hora e trinta minutos? (c) Qual a velocidade instantânea de crescimento no instante t = 1?

Answer 1

Resposta:

a) 150

b) 247

c) 70

Explicação passo-a-passo:

Primeiramente, vamos determinar a quantidade inicial de bactérias. Para isso, devemos utilizar o tempo na equação igual a zero. Substituindo esse valor, obtemos:

$N(0)=150e^{\frac{0}{3}}\\ \\N(0)=150e^{0}\\\\ N(0)=150$

Agora, vamos determinar a quantidade de bactérias após 1 hora e meia decorrida. Nesse caso, o valor de t será 1,5. Então:

$N(1,5)=150e^{\frac{1,5}{3}}\\ \\N(1,5)=150e^{0,5}\\\\ N(1,5)\approx 247$

Por fim, vamos determinar a velocidade instantânea de crescimento. Para isso, devemos derivar a equação e substituir o valor do tempo fornecido (t=1). Nesse caso, temos a expressão "e", que possui a seguinte derivada:

$y=e^u\rightarrow y'=e^uu'$

Aplicando essa derivação na função que determina a quantidade de bactérias, obtemos:

$N(t)=150e^{\frac{t}{3}}\\ \\ N'(t)=150e^{\frac{t}{3}}\times \frac{1}{3}\\ \\ N'(1)=150e^{\frac{1}{3}}\times \frac{1}{3}\\ \\ N'(1)\approx 70$