Duas circunferências de equações x2 + y2 = 16 e x2 + y2 + 4y = 0 são tangentes, isto é, possuem um ponto em comum.
Qual é a coordenada desse ponto?
Respostas
O ponto onde eles se tocam é o ponto (0,-4).
Explicação passo-a-passo:
Primeiramente vamos analisar cada equação:
x² + y² = 16
Esta é claramente uma circunferência de centro (0,0) e com raio 4.
Agora:
x² + y² + 4y = 0
Esta equação não esta facil de se notar como ela se comporta, então para isso vamos completar o quadrado de y:
x² + (y² + 4y) = 0
A equação de y não é um quadrado perfeito, então teremos que fazer de forma com que se torne, para isso, vamos adicionar 4 e diminuir 4 ao mesmo tempo, pois dessa forma não altera a equação e completa nossa quadrado:
x² + (y² + 4y + 4) - 4 = 0
Agora a equação de y é um quadrado perfeito:
x² + (y+2)² = 4
Agora fica facil ver que essa circunferencia é de centro (0,-2) e raio 2.
Agora para encontrarmos o ponto em comum delas, iremos fazer o seguinte:
x² = 16 - y²
Isolamos o x², e agora iremos substituilo na equação da segunda circunferência:
16 - y² + y² + 4y = 0
16 + 4y = 0
y = - 4
Ou seja, eles se tocam quando y = - 4. Substituindo o -4 em qualquer uma das equações:
x² = 16 - (-4)²
x² = 0
x = 0
Então o ponto onde eles se tocam é o ponto (0,-4).
OBS: Note que eu completei os quadrado, pois se você souber o formato das circunferências fica muito mais simples encontrar a resposta, pois basta olha para o desenho.
