Question

Uma região passa por um processo de êxodo rural. Por meio de uma curva de tendência, os técnicos de um instituto de Geografia e Estatística concluíram que a população P dessa região, em milhares de habitantes, daqui a t anos, pode ser estimulada pela função P(t)=1560/3+5.2^0,5t.a)Qual é a estimativa da população atual dessa região?b)Qual é a estimativa da população dessa região daqui a 1 ano?c)Supondo que esse estimativa continue válida por tempo suficiente, daqui a quantos anos a população dessa região será estimada em 120 mil habitantes?O gabarito é a-195mil b-156mil e c-2 anos, preciso das resoluções!

Answer 1

a) 195 mil habitantes;

b) 155 mil habitantes;

c) 2 anos.

a)

A estimativa da população atual, ou seja, t = 0:

P(t) = 1560 / (3 + 5 * 2^(0,5t))

P(0) = 1560 / (3 + 5 * 2^(0,5 *0))

P(0) = 1560 / (3 + 5 * 2^0)

P(0) = 1560 / (3 + 5 * 1)

P(0) = 1560 / (3 + 5)

P(0) = 1560 / 8

P(0) = 195 mil habitantes

b)

A estimativa da população após 1 ano, ou seja, t = 1:

P(t) = 1560 / (3 + 5 * 2^(0,5t))

P(1) = 1560 / (3 + 5 * 2^(0,5 * 1))

P(1) = 1560 / (3 + 5 * 2^0,5)

P(1) = 1560 / (3 + 5 * 1,414213)

P(1) = 1560 / (3 + 7,071068)

P(1) = 1560 / 10,071068

P(1) = 155 mil habitantes

c)

A estimativa de tempo para a população ter após 120 mil habitantes, ou seja, P = 120:

P(t) = 1560 / (3 + 5 * 2^(0,5t))

120 = 1560 / (3 + 5 * 2^(1/2 * t))

120 * (3 + 5 * 2^(1/2 * t) = 1560

120 * (3 + 5 * 2^(1/2 * t) - 1560 = 0

360 + 600 * 2^(1/2 * t) - 1560 = 0

- 1200 + 600 * 2^(1/2 * t) = 0

- 600 * ( 2 - 2^(1/2 * t)) = 0

2 - 2^(1/2 * t) = 0

- 2^(1/2 * t) = -2

2^(1/2 * t) = 2

2^(1/2 * t) = 2^1

1/2 * t = 1

t = 1 / (1/2)

t = 2 anos