Question

Dadas as retas r e s, com 9 e 6 pontos selecionados sobre elas, respectivamente, quantos triângulos diferentes será possível formar com vértices nos pontos selecionados nas retas r e s?

A)5 005

B)351

C)216

D)135

E)84

Answer 1

Para que possamos formar triângulos, temos que escolher 2 pontos em uma das retas e um terceiro ponto na outra reta, já que se escolhêssemos 3 pontos na mesma reta, estes seriam colineares.

Dito isso, temos duas formas de construção destes triângulos:

$\rightarrow~2~pontos~da~reta~r~e~1~ponto~da~reta~s\\\\\rightarrow~2~pontos~da~reta~s~e~1~ponto~da~reta~r$

Quando escolhemos 2 pontos em uma reta, a ordem da escolha não trará qualquer importância, ou seja, escolher os pontos A e B é o mesmo que escolher os pontos B e A.

Com isso, podemos concluir que a utilização de uma combinação é adequada para determinar todos os possíveis pares de pontos.

Quantidade de triângulos (2 pontos e r e 1 ponto em s):

$Qtde~de~Triangulos~=~C_{9,2}\times C_{6,1}\\\\\\Qtde~de~Triangulos~=~\frac{9!}{2!.(9-2)!}\times \frac{6!}{1!.(6-1)!}\\\\\\Qtde~de~Triangulos~=~\frac{9!}{2!~.~7!}\times \frac{6!}{1!~.~5!}\\\\\\Qtde~de~Triangulos~=~\frac{9~.~8~.~7!}{2~.~7!}\times \frac{6~.~5!}{1~.~5!}\\\\\\Qtde~de~Triangulos~=~\frac{9~.~8~.~1}{2~.~1}\times \frac{6~.~1}{1~.~1}\\\\\\Qtde~de~Triangulos~=~36\times 6\\\\\\\boxed{Qtde~de~Triangulos~=~216}$

Quantidade de triângulos (2 pontos e s e 1 ponto em r):

$Qtde~de~Triangulos~=~C_{6,2}\times C_{9,1}\\\\\\Qtde~de~Triangulos~=~\frac{6!}{2!.(6-2)!}\times \frac{9!}{1!.(9-1)!}\\\\\\Qtde~de~Triangulos~=~\frac{6!}{2!~.~4!}\times \frac{9!}{1!~.~8!}\\\\\\Qtde~de~Triangulos~=~\frac{6~.~5~.~4!}{2~.~4!}\times \frac{9~.~8!}{1~.~8!}\\\\\\Qtde~de~Triangulos~=~\frac{6~.~5~.~1}{2~.~1}\times \frac{9~.~1}{1~.~1}\\\\\\Qtde~de~Triangulos~=~15\times 9\\\\\\\boxed{Qtde~de~Triangulos~=~135}$

Somando os dois resultados, temos um total de 351 triangulos possiveis.

Resposta: Letra B