Question

Aref matrizes e determinantes
7.40)

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Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Resolveremos o sistema com o auxílio do Teorema de Cramer. Com isso temos:

$A=\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\a&b&c\\a^2&b^2&c^2\end{array}\right]$  (Matriz Incompleta)  ⇒

$det(A)=(b-a)(c-a)(c-b)$  (i)

A é uma matriz de Vandermonde (Matriz das Potências), com isso o seu determinante é dado pelo produto explícito em (i). As outras matrizes são dadas por:

$A_{x}=\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\d&b&c\\d^2&b^2&c^2\end{array}\right]$  ⇒

$det(A_{x})=(c-d)(c-b)(b-d)$

e

$A_{y}=\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\a&d&c\\a^2&d^2&c^2\end{array}\right]$  ⇒

$det(A_{y})=(c-d)(c-a)(d-a)$

e

$A_{z}=\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\a&b&d\\a^2&b^2&d^2\end{array}\right]$  ⇒

$det(A_{z})=(b-a)(d-a)(d-b)$

Acarretando...

$x=\frac{det(A_{x})}{det(A)}$  ⇒

$x=\frac{(c-d)(c-b)(b-d)}{(b-a)(c-a)(c-b)}=\frac{(c-d)(b-d)}{(b-a)(c-a)}$

e

$y=\frac{det(A_{y})}{det(A)}$  ⇒

$y=\frac{(c-d)(c-a)(d-a)}{(b-a)(c-a)(c-b)}=\frac{(c-d)(d-a)}{(b-a)(c-b)}$

e

$z=\frac{det(A_{z})}{det(A)}$  ⇒

$z=\frac{(b-a)(d-a)(d-b)}{(b-a)(c-a)(c-b)}=\frac{(d-a)(d-b)}{(c-a)(c-b)}$

Abraços!!