A ideia de transformação linear pode ser associada a função, em que o domínio e o contradomínio são espaços vetoriais reais. Dentre as propriedades das transformações lineares é que essas podem ser classificadas em sobrejetoras, injetoras e bijetores. Sabendo disso, analise as seguintes afirmações classificando-as em verdadeiras (V) ou falsas (F), considerando U e V espaços vetoriais: () Uma transformação é sobrejetora se para cada u pertencente a U existe v pertencente a V, tal que u = T(v). () Uma transformação é bijetora se para todo v1, v2 pertencentes a V com v1 ≠ v2 temos T(v1) ≠ T(v2). () Uma transformação é injetora se, e somente se, T(v + w) = T(v) + T(w). Assinale a alternativa que apresente a sequência correta com relação ao julgamento das afirmações:
Respostas
Vamos somente analisar as propriedades de funções e transformações lineares e veremos que é uma questão simples, então analisando individualmente:
(Verdadeiro) Uma transformação é sobrejetora se para cada u pertencente a U existe v pertencente a V, tal que u = T(v).
Se U for o espaço vetorial definido como o contra-domínio da sua transformação então sim, para ser sobrejetora, tem-se que cada componente do seu contra-domínio deve estar associado a um vetor do seu domínio V.
(Falso) Uma transformação é bijetora se para todo v1, v2 pertencentes a V com v1 ≠ v2 temos T(v1) ≠ T(v2).
A afirmação acima esta correta, porém incompleta. A afirmação acima é a definição de transformação injetora, mas para ser bijetora, ela precisa ser injetora e sobrejetora, ou seja, faltou ele afirmar que além disso a transformação precisa ter cada vetor do contra-domínio associado a um único vetor do domínio.
(Falso) Uma transformação é injetora se, e somente se, T(v + w) = T(v) + T(w).
A frase acima é uma das condições de uma transformação ser considerada lineare não sobre injetividade, podemos tomar como exemplo a transformação linear Derivada, a derivada de x² + 2 é a mesma derivada de x², logo, não é injetiva.