Question

12) As coordenadas dos focos da elipse de equação 16x2 + 25y2 = 400 são:
a) (4,0) e (5,0)
b) (-4,0) e (-5,0)
c) (-5,0) e (4,0)
d) (-2,0) e (2,0)
e) 1-3,0) e (3, 0)​

Answer 1

Usando as definições de elipse chegamos que os focos são dados por (-3,0) e (3,0), Letra e).

Explicação passo-a-passo:

Toda elipse é dada na forma reduzida pela equação:

$\frac{(X-Xo)^2}{a^2}+\frac{(Y-Yo)^2}{b^2}=1$

Onde Xo é a coordenada em X do centro da elipse, e Yo a coordenada em Y do centro da origem, "a" é o semi-eixo maior e "b" o semi-eixo menor.

Neste caso nossa equação não esta na forma reduzida:

$16X^2+25Y^2=400$

Mesmo assim, já é facil ver qua as coordenadas do centro da elipse são (0,0), mas agora precisamos descobrir as medidas de "a" e "b". Para isso vamos passar o 400 do lado direito para o lado esquerdo dividindo:

$16X^2+25Y^2=400$

$\frac{16X^2}{400}+\frac{25Y^2}{400}=1$

$\frac{X^2}{25}+\frac{Y^2}{16}=1$

$\frac{X^2}{5^2}+\frac{Y^2}{4^2}=1$

Agora já sabemos que "a" vale 5 e "b" vale 4. Agora note na figura que, a distancia do foco é dada pela letra "c", e as letras "a", "b" e "c" formam um triangulo retangulo, onde "a" é a hipotenusa, então usando pitagoras:

a² = b² + c²

5² = 4² + c²

25 = 16 + c²

9 = c²

c = 3

Agora sabemos que a distancia focal "c" vale 3, ou seja, a partir do centro da elipse (0,0), basta adicionarmos e subtrairmos o valor de "c" em x, para encontrarmos os dois focos:

(-3,0)

(3,0)

Então temos que a respostas certa é Letra e).