Question

Em benefício do bem comum, prefeituras municipais enfrentam interesses privados e começam a combater a poluição visual, proibindo cartazes de propaganda nas ruas e prédios que vão de encontro a ordem, a estética e limpeza, além de perigo causado aos motoristas que trafegam essas ruas, ao desviar a atenção dos mesmos. Dois motoristas, dirigindo na mesma direção e sentido, avistam, num prédio localizado à frente, um outdoor. O motorista localizado no ponto A avista o Outdoor sob um ângulo de 30°, e o motorista localizado no ponto B avista-o sob um ângulo de 60° conforme a figura abaixo. A distância AB, em metros, é um número compreendido entre:​

(com contas pfr)

a) 10 e 20
b) 20 e 30
c) 30 e 40
d) 40 e 50
e) 50 e 60

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Calculando a tangente de 60º, temos:

Tg60º= 45/cat. adj => cat. adj= 45/\/3’ ~ 26.

E a tangente de 30º:

Tg30º= 45/cat. adj ==> cat. adj= 135/\/3’ ~ 78

Logo percebemos que 78 é 3 vezes mais que 26. Assim, se o cat. adj de B até o prédio é 26, então o cat. adj. de A até B é 52.

Logo, o valor de A até B está entre 50 e 60 metros.

Answer 2

A distância AB está compreendida entre 50 e 60. Alternativa E.

Razões trigonométricas no triângulo retângulo

Os triângulos retângulos possuem três principais relações entre seus lados e seus ângulos internos:

$Seno = \frac{Cateto \; Oposto}{Hipotenusa} \\\\Cosseno = \frac{Cateto \; Adjacente}{Hipotenusa} \\\\Tangente = \frac{Cateto \; Oposto}{Cateto \; Adjacente}$

*Observe abaixo a tabela com os valores para os principais ângulos.

Primeiramente, vamos calcular a distância do ponto B até a base do prédio. Para tanto, vamos utilizar a relação tangente. Chamando de m este segmento, temos:

$\frac{45}{m} = tg \; 60\º\\\\\frac{45}{m} = \sqrt{3} \\\\m \cdot \sqrt{3} = 45\\\\m \cdot 1,73 = 45\\\\m = \frac{45}{1,73} \\\\m \approx 26$

Agora, observe o triângulo maior. Veja que o segmento que vai de A até a base do prédio corresponde a $AB + 26$. Sendo assim, aplicando novamente a razão tangente, encontramos:

$\frac{45}{AB+26} = tg \; 30\º\\\\\frac{45}{AB+26} = \frac{\sqrt{3} }{3} \\\\\sqrt{3} \cdot(AB + 26) = 45 \cdot 3\\\\1,73 \cdot(AB + 26) =135\\\\1,73AB + 44,98= 135\\\\1,73AB = 135 - 44,98\\\\1,73AB = 90,02\\\\AB = \frac{90,02}{1,73} \\\\AB \approx 52,03$

Portanto, a distância AB é 52,03 metros, ou seja, está entre 50 e 60. Alternativa E.

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