Question

Suponha que dois aviões decolem de um ponto que chamaremos de origem e representaremos
pelo ponto (0, 0, 0). Após alguns instantes, o avião A encontra-se no ponto (5,−3, √2) e o avião B, no
ponto (−4, √2, z), separados por uma distância em quilômetros e cujo ângulo entre eles é de 107°.
Determine a coordenada positiva z do avião B.

Answer 1

A coordenada positiva z do avião B é 7.

Primeiramente, vamos determinar os vetores AO e BO:

AO = (5,-3,√2) e BO = (-4,√2,z).

Para calcular o ângulo entre AO e BO, precisamos calcular a norma de cada um e o produto interno. Assim,

||AO|| = √36 = 6

||BO|| = √18 + z²

<AO,BO> = -20 - 3√2 + z√2.

Vamos considerar que cos(107) ≈ -0,292. Assim,

$-0,292 = \frac{-20-3\sqrt{2}+z\sqrt{2}}{6\sqrt{18+z^2}}$

1,752√18 + z² = -20 - 3√2 + z√2

1,752√18 + z² = -20 - 4,243 + 1,414z

1,752√18 + z² = -24,243 + 1,414z

√18 + z² = -13,837 + 0,807z

18 + z² = 191,463 - 22,333z + 0,651z²

0,349z² + 22,333z - 173,463 = 0.

Ao resolvermos a equação do segundo grau acima, obteremos dois valores aproximados para z: 7 e -71.

Como queremos a coordenada positiva, então z = 7.