Question

De um baralho comum de 52 cartas, 3 são extraídas ao acaso, sem reposição. Qual a probabllilidade de que as 3 sejam do mesmo naipe?

Answer 1

Em um baralho comum temos 4 naipes com 13 cartas cada totalizando as 52 cartas do baralho.

Podemos então ter 4 situações de interesse nesta questão:

--> Retirar 3 cartas de Copas

--> Retirar 3 cartas de Ouros

--> Retirar 3 cartas de Espadas

--> Retirar 3 cartas de Paus

Para cada situação acima, temos uma probabilidade igual de acontecer.

Sendo assim, vamos nos concentrar na 1ª situação (3 cartas de copas).

Na retirada da 1ª carta, teremos 13 cartas de Copas dentre as 52 cartas.

Na retirada da 2ª carta, teremos 12 cartas de Copas dentre as 51 cartas restantes.

Na retirada da 3ª carta, teremos 11 cartas de Copas dentre as 50 cartas restantes.

Dessa forma, a possibilidade de conseguirmos retirar 3 cartas de Copas em sequencia (sem reposição) será:

$P(3~cartas~de~Copas)~=~\frac{13}{52}\times \frac{12}{51}\times \frac{11}{50}\\\\\\P(3~cartas~de~Copas)~=~\frac{13~.~12~.~11}{52~.~51~.~50}\\\\\\P(3~cartas~de~Copas)~=~\frac{1716}{132600}\\\\\\\boxed{P(3~cartas~de~Copas)~=~\frac{11}{850}}$

Como dito antes, a probabilidade das outras 3 situações (demais naipes) será igual, logo, para termos a probabilidade de 3 cartas retiradas (sem repetição) sejam do mesmo naipe, basta multiplicarmos por 4 o valor calculado:

$P(3~cartas~do~mesmo~naipe)~=~4\times\frac{11}{850}\\\\\\P(3~cartas~do~mesmo~naipe)~=~\frac{22}{425}\\\\\\\boxed{P(3~cartas~do~mesmo~naipe)~\approx~0,0518~~ou~~5,18\%}$

O mesmo resultado poderia ser obtido utilizando-se analise combinatória.

$P(3~cartas~mesmo~naipe)~=~(Numero~de~Naipes)\times \frac{_{cartas~do~mesmo~naipe}^{Agrupamentos~de~tres}}{_{~~~cartas~quaisquer}^{Agrupamentos~de~tres}}\\\\\\P(3~cartas~mesmo~naipe)~=~4\times \frac{C_{13,3}}{C_{52,3}}\\\\\\P(3~cartas~mesmo~naipe)~=~4~.~\frac{\frac{13!}{3!\,.\,(13-3)!}}{\frac{52!}{3!\,.\,(52-3)!}}\\\\\\P(3~cartas~mesmo~naipe)~=~4~.~\frac{13!~.~3!~.~49!}{52!~.~3!~.~10!}\\\\\\P(3~cartas~mesmo~naipe)~=~4~.~\frac{13!~.~49!}{52!~.~10!}$

$P(3~cartas~mesmo~naipe)~=~4~.~\frac{13~.~12~.~11~.~10!~~.~~49!}{52~.~51~.~50~.~49!~~.~~10!}\\\\\\P(3~cartas~mesmo~naipe)~=~4~.~\frac{13~.~12~.~11}{52~.~51~.~50}\\\\\\\boxed{P(3~cartas~mesmo~naipe)~\approx~0,0518~~ou~~5,18\%}$