Question

Na imagem a seguir, temos a representação da quadra de futebol de salão com dimensões x e y, com perímetro de 120 metros.

a) determine a expressão matemática que relaciona x e y.

b) determine a expressão matemática da área A da quadra de futebol de salão em função de x.

c) determine o valor da área para x=40m.

d) determine as dimensões da quadra de modo que a sua área seja de 500m².

Answer 1

a) O perímetro da quadra é 120 metros, portanto temos:

x + y + x + y = 120

2x + 2y = 120

Dividindo os dois lados da equação por 2:

x + y = 60

y = 60 - x

b) A área da quadra é o produto entre seus lados:

A = x.y

Substituindo o valor de y encontrado no item anterior:

A = x.(60 - x)

A = 60x - x²

c) Para x = 40 m, temos:

A = 60.40 - 40²

A = 2400 - 1600

A = 800 m²

d) Para que a área seja 500 m², devemos ter:

500 = 60x - x²

-x² + 60x - 500 = 0

Resolvendo essa equação de segundo grau através da fórmula de Bhaskara:

Δ = b² - 4ac

Δ = 60² - 4.(-1).(-500)

Δ = 3600 - 2000

Δ = 1600

x = (-b ± √Δ)/2a

x = (-60 ± √1600)/2.(-1)

x = (-60 ± 40)/-2

$x_1$ = (-60 + 40)/-2 = -20/-2 = 10

$x_2$ = (-60 - 40)/-2 = -100/-2 = 50

Logo, temos x = 10 m ou x = 50 m para que a área seja 500 m².

Observe que, se x = 10 m, então:

y = 60 - x

y = 60 - 10

y = 50 m

Por outro lado, se x = 50 m, teremos:

y = 60 - x

y = 60 - 50

y = 10 m

Então, as dimensões dessa quadrão são x = 10 e y = 50 ou x = 50 e y = 10. Em outras palavras, um lado tem que medir 10 metros e o outro tem que medir 50 metros.

Se tiver alguma dúvida, deixe nos comentários.