Question

a) Determine a equação da circunferência de centro C(2, - 1) e tangente à reta 4x + 3y – 2 = 0.




b)Sabe-se que o centro de uma circunferência se encontra na origem do sistema cartesiano. O ponto P(- 4, - 3) pertence a circunferência. De acordo com a informação, o raio é:

a. 1

b. 2

c. 5

d.10

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

a) Equação da circunferência:

(x - a)² + (y - b)² = r²

(x - 2)² + (y + 1)² = r²

Reta tangente à circunferência:

4x + 3y - 2 = 0

Distância entre um ponto e uma reta:

$d = \frac{ |ax + by + c| }{ \sqrt{ {a}^{2} + {b}^{2} } } \\ d = \frac{ |4 \times 2 + 3 \times ( - 1) + ( - 2)| }{ \sqrt{ {4}^{2} + {3}^{2} } } \\ d = \frac{ |8 - 3 - 2| }{ \sqrt{16 + 9} } \\ d = \frac{3}{ \sqrt{25} } \\ d = \frac{3}{5}$

A distância do centro à reta equivale ao raio da circunferência. Portanto, r = 3/5.

Agora, é possível determinar a equação da circunferência. Assim, temos:

(x - a)² + (y - b)² = r²

(x - 2)² + (y + 1)² = (3/5)²

(x - 2)² + (y + 1)² = 9/25

b) Como o centro da circunferência está na origem do sistema cartesiano, então o mesmo tem coordenadas O(0, 0).

Como o ponto P(-4, -3) pertence à circunferência, então a distância dele ao centro corresponde ao raio. Portanto, a distância entre esses dois pontos vale:

dOP = √(x2 - X1)² + (y2 - y1)²

dOP = √(-4 - 0)² + (-3 - 0)²

dOP = √(-4)² + (-3)²

dOP = √16 + 9

dOP = √25

dOP = 5

Assim, o raio mede 5. Alternativa C.