Question

Determinar a equação da circunferência que tem um diâmetro determinado pelos pontos A (5 , -1) e B (-3 , 7) ​

Answer 1

Olá Lucas.


Queremos encontrar a equação da circunferência, para isso precisamos conhecer as coordenadas do centro e o raio da circunferência.
O exercício nos dá dois pontos extremos da circunferência, o diâmetro.
Para encontrar as coordenadas do centro, vamos achar o ponto médio do segmento do diâmetro.
E para encontrar o raio, basta achar a distância entre o centro e um dos pontos dados.
Vamos lá...


Coordenadas do centro:

xc = abscissa do centro.
yc = ordenada do centro.

$xc = \frac{xi + xii}{2} = \frac{5 + ( - 3)}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$yc = \frac{yi + yii}{2} = \frac{ - 1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Coordenadas do centro - C (1; 3)


Raio:

Vamos usar a fórmula para encontrar a distância entre dois pontos no plano cartesiano.

$r = \sqrt{ {(xi - xii)}^{2} + {(yi - yii)}^{2} }$

$r = \sqrt{ {(5 - ( - 3))}^{2} + {( - 1 - 7)}^{2} } \\ r = \sqrt{ {8}^{2} + {( - 8)}^{2} } \\ r= \sqrt{64 + 64} \\ r = \sqrt{128} \\ r = 8 \sqrt{2}$

Raio - 8√2


Vamos encontrar a equação da circunferência:

${(x - xc)}^{2} + {(y - yc)}^{2} = {r}^{2} \\ {(x - 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 128$

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Resposta:

${(x - 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 128$
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Espero ter ajudado!

Answer 2

• RESOLUÇÃO:

1) Calculando a distância entre os dois pontos, obtemos o diâmetro:

$\sf~D = \sqrt{{(x_a - x_b)}^{2} + {(y_a - y_b)}^{2} }\\\\\sf~D = \sqrt{ {(5 - ( - 3))}^{2} + {( - 1 - (+7))}^{2} } \\\\\sf~D=\sqrt{(5+3)^2+(-1-7)^2}\\\\\sf~D = \sqrt{ {8}^{2} + {( - 8)}^{2} }\\\\\sf~D=\sqrt{8^2+64}\\\\\sf~D= \sqrt{64 + 64} \\\\\sf~D=\sqrt{128}\Rightarrow\sqrt{2^7}\Rightarrow\sqrt{2^{6+1}}\Rightarrow\sqrt{2^6\cdot2^1}\Rightarrow\sqrt[\diagup\!\!\!\!2]{2^{\diagup\!\!\!\!6}}\cdot\sqrt{2}\Rightarrow2^3\sqrt{2}\Rightarrow\boxed{8\sqrt{2}}~\checkmark$

2) Como o raio r é a metade do diâmetro D, temos:

$\Large\displaystyle\sf~r=\frac{D}{2}\Rightarrow\frac{\diagup\!\!\!\!8\sqrt{2}}{\diagup\!\!\!\!2}\Rightarrow\boxed{\sf4\sqrt{2}}~\checkmark$

3) Calculando o ponto central ou coordenadas do centro através do ponto médio entre A e B:

$\begin{cases}\Large\displaystyle\sf~x_c = \frac{x_a + x_b}{2}\Rightarrow\frac{5 + ( - 3)}{2}\Rightarrow\frac{2}{2}=\boxed{1}~\checkmark\\\\\Large\displaystyle\sf~y_c =\frac{y_a+ y_b}{2}\Rightarrow\frac{ - 1 + 7}{2} = \frac{6}{2}=\boxed{3}~\checkmark\end{cases}$

Logo, o ponto central é: C (1; 3) ✓

4) Agora, substituímos o ponto central na equação da circunferência e obtemos o que se pede. Como o enunciado não informa em qual equação da circunferência quer a resposta, podemos colocar a mesma em sua forma reduzida, de modo a, encontrá-la sucintamente.

$\boxed{\boxed{\sf(x - x_c)^{2} + (y - y_c)^{2} = {r}^{2}}}~\bigstar \\\\\sf(x - 1)^{2} + (y - 3)^{2} = \left(4\sqrt{2}\right)^2\Rightarrow4^2\cdot\left(\sqrt[\diagup\!\!\!\!2]{2}\right)^{\diagup\!\!\!\!{2}}\Rightarrow16\cdot2=32\\\\\sf(x - 1)^{2} + (y - 3)^{2} =32~\checkmark$

✨ $\Large\mathscr{\blue{Per:~Dan}}$ ✨