Question

entre 9 professores da área de matemática da UPF, 5 serão escolhidos para realizar a correção das provas da primeira fase das olimpíadas de matemática. Considerando se que entre os 9 apenas 2 não podem ser escolhidos juntos devido a problemas de compatibilidade de horários, a quantidade de maneiras pelas quais a escolha pode ser feita são ​

Answer 1

Utilizando analise combinatória e montagem por lógica temos 91 formas de selecionarmos 5 professores de 9 sem que dois deles fiquem juntos.

Explicação passo-a-passo:

Primeiramente vamos selecionar normalmente 5 professores dentre 5, isto seria uma combinação de 5 em 9 e combinações são dadas pela seguinte formula:

$C(n,p)=\frac{n!}{p!(n-p)!}$

Então colocando nosso valores:

$C(9,5)=\frac{9!}{5!4!}=\frac{9.8.7.6}{4.3.2}=9.2.7=126$

Ou seja, temos 126 formas de selecionarmos todos os professores sem restrinções, mas nestas seleções está incluido as seleções que os dois professores que não podem ser selecionados juntos, então para tirarmos eles juntos desta seleção, vamos fazer uma combinação de somente onde os dois são selecionados juntos e tirar do valor que encontramos anteriormente, pois dessa forma só restará as alternativas em que eles não estão juntos.

Então se iremos selecionar os dois juntos agora, iremos fazer uma combinação de 3 em 7, pois os dois professores já estão garantidos no grupo desta vez, então resta 7 professores, e queremos mais 3:

$C(7,3)=\frac{7!}{4!3!}=\frac{7.6.5}{3.2}=7.5=35$

Então tem 35 formas nas quais os dois são selecionados juntos, tirando este resultado do anterior:

126 - 35 = 91

Então temos 91 formas de selecionarmos 5 professores de 9 sem que dois deles fiquem juntos.