Question

considere que o ponto P, imagem do imagem do número complexo Z, no plano de Gauss de origem O, esteja no segundo quadrante e seja equidistante dos eixos.dado op=pi raiz de 2, determine z³

Answer 1

Utilizando as definições de plano complexo temos que $z^3=(2\pi^3+i2\pi^3)$

Explicação passo-a-passo:

Todo ponto complexo z, pode ser escrito como:

z = (x + iy)

Onde x é o componente real, e y o componente imaginário.

Se este pontos esta equidistante dos eixos, isto significa que o modulo de x e y são iguais, e como sabemos que eles está no segundo quadrante, então temos que y é positivo e x é negativo, então podemos dizer que x=-y:

z = (-y + iy)

E sabemos também que sua distancia da origem vale:

$d=\pi\sqrt{2}$

Então isto significa que o modulo deste ponto, vale este mesmo valor, pois o modulo é exatamente esta definição. Assim:

$\sqrt{(-y)^2+(y)^2}=\pi\sqrt{2}$

$\sqrt{y^2+y^2}=\pi\sqrt{2}$

$\sqrt{2y^2}=\pi\sqrt{2}$

$y\sqrt{2}=\pi\sqrt{2}$

$y=\pi$

Agora sabemos o valor do nosso ponto exatamente:

$z=(-\pi+i\pi)$

E agora queremos saber este ponto ao cubo, então:

$z^3=(-\pi+i\pi)(-\pi+i\pi)(-\pi+i\pi)$

$z^3=(\pi^2-\pi^2-2i\pi^2)(-\pi+i\pi)$

$z^3=(-2i\pi^2)(-\pi+i\pi)$

$z^3=(2i\pi^3+2\pi^3)$

$z^3=(2\pi^3+i2\pi^3)$