Question

De quantas maneiras podemos escolher 3 números naturais distintos dentre os inteiros de 1 a 20, de modo que a soma dos números escolhidos seja ímpar?


Apanhei nessa questão pois interpretei errado e considerei apenas a possibilidade do conjunto (1;2;3...20) formar numeros de 3 algarismos apenas, cuja as somas desses algarismos fosse impar. Agora a pergunta é, nesse cenário quantos numeros distintos de 3 algarismos, cuja a soma de seus algarismos desse um numero impar conseguiriamos formar já que no conjunto há numeros formados com 1 e 2 algarismos.

Answer 1

Podemos escolher os 3 números naturais distintos de 570 maneiras distintas.

Entre 1 e 20 existem 10 números ímpares (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19) e 10 números pares (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20).

Para que a soma de três números seja ímpar, devemos ter:

par + par + ímpar ou ímpar + ímpar + ímpar.

Perceba que a ordem da escolha não é importante. Então vamos utilizar a fórmula da Combinação: $C(n,k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Para a primeira possibilidade, devemos escolher dois pares e um ímpar. Então:

$C(10,2).C(10,1)=\frac{10!}{2!8!}.\frac{10!}{1!9!}$

C(10,2).C(10,1) = 45.10

C(10,2).C(10,1) = 450.

Para a segunda possibilidade, devemos escolher três ímpares:

$C(10,3)=\frac{10!}{3!7!}$

C(10,3) = 120.

Portanto, podemos escolher os três números de 450 + 120 = 570 maneiras.

Answer 2

Resposta:

1,3,5,7,9,11,13,15,17,19  são dez  e dez pares

Se a ordem não for importante

par+par+ímpar ==>10*9*10/2!=450

ou  C10,2 *10 =45*10 =450

ímpar +ímpar+ímpar ==>10*9*8 =/3! =120

ou

C10,3 =10!/(7!*3!)=120

Total = 450+120 = 570