Question

Geometria analitica e vetorial - Cônicas

Complete quadrados na equação x2 –2y2 –6x +8y –1 = 0 para identificar a cônica.

Determine seu centro. Faça um esboço no sistema de coordenadas (x,y). Você

identifica o completamento de quadrados com uma translação do sistema de

coordenadas?

Answer 1

Completando quadrado podemos ver que esta é a equação de uma hiperbole com centro em (3,-2) e vemos que completar quadrado não é uma translação no sistema de coordenadas, pois em momento nenhum modificamos a equação, sempre adicionamos e subtraimos os mesmo valores na equação.

Explicação passo-a-passo:

Então temos a equação:

$x^2-2y^2-6x+8y-1=0$

Para completarmos quadrado vamos juntar os termos de mesma letra:

$(x^2-6x)-(2y^2+8y)-1=0$

Agora vamos focar em cada parenteses individualmente:

$(x^2-6x)$

Queremos que este seja um quadrado perfeito, ou seja, possa ser escrito como:

$(x+a)^2$

E um quadrado deste tipo, quando aberto fica :

$(x+a)^2=x^2+2ax+a^2$

Comparando este quadrado perfeito com nossa equação:

$(x+a)^2=x^2+2ax+a^2$

$(x^2-6x)$

Vemos que nosso "a" poderia ser -3, porem faltaria o a² somando ao final, que seria 9, então vamos adicionar e subtrair 9 da nossa equação:

$(x^2-6x)$

$(x^2-6x+9-9)$

Agora o -9, vamos retirar dos parenteses:

$(x^2-6x+9)-9$

O que sobrou dentro do parentese é agora de fato um quadrado perfeito, então:

$(x^2-6x+9)-9=(x-3)^2-9$

Então voltando com este resultado na equação original:

$(x^2-6x)-(2y^2+8y)-1=0$

$(x-3)^2-9-(2y^2+8y)-1=0$

$(x-3)^2-(2y^2+8y)-10=0$

Agora vamos fazer o mesmo com o segundo parenteses:

$-(2y^2+8y)$

Primeiramente vamos colocar o 2 em evidência:

$-2(y^2+4y)$

Agora novamente, comparando a parte de dentro do parenteses com a equação do quadrado perfeito, vamos que falta um a², que seria 4 neste caso, então vamos somar e subtrair 4:

$-2(y^2+4y+4-4)$

E excluindo ele do parenteses:

$-2(y^2+4y+4)-2(-4)$

$-2(y^2+4y+4)+8$

E o que sobrou dentro do parenteses é um quadrado perfeito:

$-2(y+2)^2+8$

Então temos que:

$-2(y^2+4y)=-2(y+2)^2+8$

Substituindo isto na equação original:

$(x-3)^2-(2y^2+8y)-10=0$

$(x-3)^2-2(y+2)^2+8-10=0$

$(x-3)^2-2(y+2)^2-2=0$

$(x-3)^2-2(y+2)^2=2$

Agora vamos fazer  que o lado direito fique somente o número 1, isolado:

$(x-3)^2-2(y+2)^2=2.1$

$\frac{(x-3)^2}{2}-\frac{2(y+2)^2}{2}=1$

$\frac{(x-3)^2}{2}-(y+2)^2=1$

Agora podemos ver que esta é a equação de uma hiperbole com centro em (3,-2) e vemos que completar quadrado não é uma translação no sistema de coordenadas, pois em momento nenhum modificamos a equação, sempre adicionamos e subtraimos os mesmo valores na equação.