Question

A relação entre o preço unitário p, em reais, e a quantidade demandada x, de um determinado produto é dada pela função p=-0,02x+400. O custo de produção de x unidades é dado pela função C(x)=100x+200.000. Utilizando derivada, determine o lucro da 2001ª unidade.

Answer 1

Utilizando calculos de lucro marginal temos que a partir da proxima peça, o lucro por unidade é de R$ 220,00.

Explicação passo-a-passo:

Então temos que o preço de uma única unidade do produto é dada por:

$p(x)=-0,02x+400$

Se o vendedor deste produto, vender x unidades, então o valor que ele irá obter, ou seja, a receita, será o valor "p" de cada produto, vezes a quantidade "x" que ele vender, então a função receita á dada por:

$R(x)=x.p$

$R(x)=x.(-0,02x+400)$

$R(x)=-0,02x^2+400x$

Assim temos a função receita e a função custo:

$C(x)=100x+200000$

Sabemos por definição, que Lucro é receita menos o custo, então a nossa função lucro é:

$L(x)=R(x)-C(x)$

$L(x)=-0,02x^2+400x-100x-200000$

$L(x)=-0,02x^2+300x-200000$

Agora temos a função lucro, mas nos queremos o lucro da produção por unidade, pois o lucro de uma única unidade é dado por produção por unidade, assim queremos o lucro marginal, ou seja, a derivada do lucro em relação a unidade:

$L(x)=-0,02x^2+300x-200000$

$L'(x)=-0,04x+300$

Então agora substituindo o valor de x = 2000:

$L'(x)=-0,04.2000+300$

$L'(x)=-80+300$

$L'(x)=220$

Então a partir da proxima peça, o lucro por unidade é de R$ 220,00.