Question

resolva o sistema linear abaixo e obtenha o valor de X, y e z.

x+2y-z=2
2x-y+3z=9
3x+3y-2z=3​

Answer 1

Existe vários métodos para resolver um sistema, mas estarei fazendo pelo método da eliminação. Quando existe um sistema com três equações (três variáveis) teremos que dividir em dois casos.

$\left \{ {{x+2y-z=2} \atop {2x-y+3z=9}} \atop{3x+3y-2z=3}} \right. \Downarrow \\\\ \left \{ {{x+2y-z=2} \atop {2x-y+3z=9}} \right. \ e \ \left \{ {{x+2y-z=2} \atop {3x+3y-2z=3}} \right.$

Nos dois casos, nós teremos que 'tentar' multiplicar uma das equações por um número que dê para eliminar pelo menos uma variável. Vamos por caso.

$\left \{ {{x+2y-z=2} \atop {2x-y+3z=9}} \right. \Rightarrow \left \{ {{x+2y-z=2 * (-2)} \atop {2x-y+3z=9}} \right. \Rightarrow \left \{ {{\boxed{-2x-4y+2z=-4}} \atop {2x-y+3z=9}} \right. \Downarrow \\ \{ {{-2x-4y+2z=-4} \atop {2x-y+3z=9}} \right. \Downarrow \\ \boxed{-5y+5z=5}$

Aqui em cima eu multiplique a primeira equação por (-2) para anular a variável x, e depois somei o sistema.

Agora vamos para o segundo caso. Basta seguir os passos anteriores também, só não iremos multiplicar por -2.

$\left \{ {{x+2y-z=2} \atop {3x+3y-2z=3}} \right. \Rightarrow \left \{ {{x+2y-z=2 * (-3)} \atop {3x+3y-2z=3}} \right. \Rightarrow \left \{ {{\boxed{-3x-6y+3z=-6}} \atop {3x+3y-2z=3}} \right. \Downarrow \\ + \underline{\left \{ {{-3x-6y+3z=-6} \atop {3x+3y-2z=3}} \right.} \\ \boxed{-3y+z=-3}$

Aqui em cima eu multipliquei a primeira equação por (-3) para anular a variável x. Depois de anular duas variáveis dos dois casos, nós formamos um terceiro 'grupo' de sistema que teremos que fazer o mesmo esquema do que foi feito anteriormente.

$\left \{ {{-5y+5z=5} \atop {-3y+z=-3}} \right. \Rightarrow \left \{ {{-5y+5z=5 \div(-5)} \atop {-3y+z=-3}} \right. \Rightarrow \left \{ {{y-z=-1} \atop {-3y+z=-3}} \right. \Downarrow \\ +\underline{\left \{ {{y-z=-1} \atop {-3y+z=-3}} \right.} \Downarrow \\ \\-2y=-4 \\ y = \frac{-4}{-2} = \boxed{2}$

O que foi feito aqui em cima: dividimos a primeira equação por -5 tendo em vista que os coeficientes são iguais a 5 e depois somamos o sistema. O valor de y nós já temos, basta substituir em uma das equações para achar o valor de z e depois substituir em uma das outras equações para achar o valor de x.

$-3y+z=-3 \\ -3*2+z=-3 \\ -6 + z = -3 \\ z = -3 + 6 \\ \boxed{z = 3}$

Substituindo o valor de z e y em uma das equações principais, temos que o valor de x é igual a:

$x + 2y - z = 2 \\ x + 2*2-3=2 \\ x + 4-3 = 2 \\ x + 1 = 2 \\ x = 2 - 1 \\ \boxed{x = 1}$

Logo, os valores de x, y e z, respectivamente, são iguais a:

$\boxed{(x,y,z) = (1,2,3)}$