Uma folha de papel retangular ABCD de área 1 é dobrada através de uma linha reta de modo que o vértice C coincida com o vértice A. A folha dobrada tem a forma de um pentágono. Mostre que a área do pentágono é menor do que 3/4.
Respostas
Quando dobrar a folha de papel, fazendo coincidir o vértice C com o vértice A, forma-se a dobra EF que intersecta a diagonal AC no ponto H.
Depois da folha dobrada, o ângulo CHF ficará coincidente com o ângulo AHF. Logo, CHF = AHF = 90º.
Os triângulos CHF e AHE são congruentes, pois possuem três ângulos iguais e dois lados (CH e AH) iguais. Assim, FH e HE têm a mesma medida.
Dessa forma, o polígono AECF é um paralelogramo com 4 lados iguais, mais especificamente um losango.
Se G é a posição do ponto B com a folha dobrada, então os triângulos AGE, ADF e CBE são congruentes entre si, pois são retângulos, AE = AF = CE (têm mesma hipotenusa) e AG = AD = CB (têm um cateto comum).
Assim temos Área AGEFD = Área AEFD + Área AGE
A área de AEFD = 1/2 Área de ABCD = 1/2, pois os triângulos do losango AECF são iguais e os triângulos ADF e CBE são congruentes. Como DF é menor do que 1/2DC, segue-se que área AEDF é menor do que 1/4.
Assim temos Área AGEFD = Área AEFD + Área AGE < 1/2 + 1/4 < 3/4.