Question

Determinar as raízes da equação:
A)x^2-2x+2=0
B)2x^2-6x+9=0
C)3x^2-4x+5=0
D)x^2+2x+5=0
E)3t^2+t+1=0
F)x^2-6x+10=0

Answer 1

Vamos determinar as raízes das equações usando o método de completar quadrado.

O método funciona assim:

Seja a equação $ax^2+bx+c=0$

divida por a e obtenha $x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$

Sabemos que $(x+d)^2=x^2+2dx+d^2$

Se $\frac{b}{a}=2d$ temos que $d=\frac{b}{2a}$ e obtemos:

$(x+\frac{b}{2a})^2=x^2+2\frac{b}{2a}x+(\frac{b}{2a})^2$

Ou seja,$x^2+\frac{b}{a}x=(x+\frac{b}{2a})^2-(\frac{b}{2a})^2$ e portanto

$ax^2+bx+c=0==>(x+\frac{b}{2a})^2-(\frac{b}{2a})^2+\frac{c}{a}=0$

$(x+\frac{b}{2a})=\pm\sqrt{(\frac{b}{2a})^2-\frac{c}{a}}$

$x=-\frac{b}{2a}\pm \sqrt{(\frac{b}{2a})^2-\frac{c}{a}}$

Vamos então partir pras soluçõeso:

a) $x^2-2x+2=0$

$x^2-2x+2=0\\\\(x-2)^2-4+2=0\\\\(x-2)^2=2\\\\x=2\pm\sqrt2$ tem 2 raízes

b) $2x^2-6x+9=0$

$x^2-3x+\frac{9}{2}=0\\\\ (x-\frac{3}{2})^2-\frac{9}{4}+\frac{9}{2}=0\\\\ (x-\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}-\frac{18}{4}=\frac{-9}{4}$ não tem raíz real

c) $3x^2-4x+5=0$

$3x^2-4x+5=0\\\\x^2-\frac{4}{3}x+\frac{5}{3}=0\\\\(x-\frac{2}{3})^2 -\frac{4}{9}+\frac{5}{3}=0\\\\(x-\frac{2}{3})^2 =\frac{4}{9}-\frac{15}{9}=-\frac{11}{9}$ não tem raíz real

d) $x^2+2x+5=0$

$x^2+2x+5=0\\\\(x+1)^2-1+5=0\\\\(x+1)^2=-4\\\\(x+1)=\sqrt{(-4)}$ não tem raíz real

e) $3t^2+t+1=0$

$3t^2+t+1=0\\\\t^2+\frac{1}{3}t+\frac{1}{3}=0\\\\(t+\frac{1}{6})^2-\frac{1}{36}+\frac{1}{3}=0\\\\(t+\frac{1}{6})^2=\frac{1}{36}-\frac{12}{36}=-\frac{11}{36}$ não tem raiz real

f) $x^2-6x+10=0$

$x^2-6x+10=0 \\\\(x-3)^2-9+10=0\\\\(x-3)^2=9-10=-1$