Question

Qual é o volume de um prisma reto, cuja a base é um triângulo equilátero de área medindo 4√3 cm² e a altura é o dobro da aresta da base?

Answer 1

o volume será:

$32\times4\sqrt3=128\sqrt3cm^3$

Um triangulo equilátero possui todos os lados de mesma medida $l$.

Lembrando que a altura de um triângulo equilátero é divide os ângulos em partes iguais (é uma bissetriz) formando 90 º com o lado oposto e também o dividindo em partes iguais (é uma mediatriz), podemos obter sua área pode ser obtida através o teorema de pitágoras:

$altura=h\\base=\frac{l}{2}\\hipotenusa=l\\\\\\ l^2=h^2+\frac{l^2}{2^2}\\\\ l^2-\frac{l^2}{4}=h^2 \\\\ h^2= \frac{3l^2}{4}\\\\h=\frac{\sqrt{3}}{2}$

obtendo o valor dos lados:

Sabemos que a área vale $\frac{base\times altura}{2} =4\sqrt 3 cm^2$  onde a base é o lado de tamanho $l$ e a altura dada por $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Logo:

$\frac{base\times\sqrt{3}}{2\times2}=4\sqrt3=base\times\frac{\sqrt3}{4}==>base=16$

Assim sabemos que o triângulo possui lado de tamanho 16.

Altura do prisma:

Foi dado que a altura é o dobro do lado do triângulo:

$altura=2\times16=32$

Volume do prisma:

O volume é dado por $base_{prisma}\times altura_prisma$ onde a base é a área do triângulo e a altura a altura do prisma.

sabemos que a área do triângulo é $4\sqrt3cm^2$ e a altura é $32cm$

o volume será:

$32\times4\sqrt3=128\sqrt3cm^3$