Question

No conjunto V = {(x, y)| x, y ∈ R} definamos adi¸c˜ao assim:
(xl
, y1) + (x2, y2) = (xl + x2, 0)
e multiplica¸c˜ao por escalares como no R
2
, ou seja, para cada a ∈ R,
a(x, y) = (ax, ay).
Verifique se V ´e um espa¸co vetorial sobre R.

Answer 1

Vamos tomar três vetores de V:

u (u1, u2)

v (v1, v2)

w (w1, w2)

Para que o conjunto V seja um espaço vetorial, devem ser verificadas os seguintes axiomas:

Em relação a adição:

1) Para todo u, v e w ∈ V, (u + v) + w = u + (v + w)

[(u1, u2) + (v1, v2)] + (w1, w2)  = (u1, u2) + [(v1, v2) + (w1, w2)]

(u1 + v1, 0) + (w1, w2) = (u1, u2) + (v1 + w1, 0)

((u1 + v1) + w1, 0) = (u1 + (v1 + w1), 0)

(u1 + v1 + w1, 0) = (u1 + v1 + w1, 0)

2) Para todo u, v ∈ V, u + v = v + u

(u1, u2) + (v1, v2) = (v1, v2) + (u1, u2)

(u1 + v1, 0) = (v1 + u1, 0)

3) E 0 ∈ e E u ∈ V tal que u + 0 = u

(u1, u2) + (0, 0) = (u1, u2)

(u1 +0, 0) = (u1, u2)

(u1, 0) ≠  (u1, u2)

Como um dos axiomas não foi satisfeito, V não é um espaço vetorial. Não é necessário verificar os outros 5 axiomas.