Question

1. Duas retas AB e CD são concorrentes no ponto P. Sabendo-se que o triângulo ACP possui área de 150 cm2

e que o triângulo BPD possui área de 294 cm2

, é CORRETO afirmar que a soma dos semi-perímetros dos

triângulos ACP e BPD é igual a:

a) 35.

b) 42.

c) 72.

d) 54.


Triângulo no arquivo.​

Answer 1

Resposta:

72 cm, letra c

Explicação passo-a-passo:

A primeira parte da questão é fazer um sistema de equações com x e y.

Para isso, eu vou usar uma propriedade que diz que a área do triângulo retângulo é a multiplicação de seus catetos sobre dois. Para provar isso usarei a area em um triângulo qualquer que é igual a:

$a = \frac{c \times b \times \ \sin( \alpha ) }{2}$

Alfa é o ângulo entre os lados. No nosso caso, alpha é 90° e o seno de 90° é 1, ficando a multiplicação dos catetos sobre 2.

Área no triângulo ACP= 150

$\frac{x \times (z - 1)}{2} = 150 \\ \\ x = \frac{300}{z - 1}$

Área no triângulo BPD= 294

$\frac{2(x - 1)(z)}{2} = 294 \\ \\ z = \frac{294}{x - 1}$

Agora substituindo no sistema:

$x = \frac{300}{z - 1} \\ \\ x = \frac{300}{ \frac{294}{x - 1} - 1} \\ \\ x = \frac{300}{ \frac{294 - x + 1}{x - 1}} \\ \\ x = \frac{300x - 300}{294 - x + 1} \\ \\ 295x - {x}^{2} = 300x - 300 \\ \\ {x}^{2} + 5x - 300 = 0 \\ \\ x = 15$

O valor negativo é ignorado, já que não é possível.

Colocando o valor de x em z:

$z = \frac{294}{15 - 1} \\ \\ z = 21$

Usando Pitágoras no triângulo ACP para achar y:

$4 {y}^{2} - 12y + 9 = {x}^{2} + (z - 1) {}^{2} \\ \\ 4 {y}^{2} - 12y + 9 = 225 + 400 \\ \\ 4 {y}^{2} - 12y + 9 - 625 = 0 \\ \\ 4y {}^{2} - 12y - 616 = 0 \\ \\ y = 14$

Semi perímetro é o perímetro dividido por 2 então, no triângulo ACP:

$x + 2y - 3 + z - 1 = 15 + 25 + 20 \\ \\ = 60$

semiperimetro ACP=30

No triângulo BPD:

$z + 2y + 7 + 2x - 2 = 21 + 35 + 28 \\ = 84$

Semiperimetro=42

A soma dos dois é 30+42=72