Question

Determinar uma equação da hipérbole que satisfaça as condições dadas:

Focos F1(-6,1) e F2(0,1) e eixo real medindo 4.

Answer 1

Eaew!!



Resolução!!



Vamos aplicar a seguinte fórmula:


|d(P,F1) - d(P,F)| = d(A,A1)


Sendo:


P(x,y) = Um ponto da hipérbole

F e F1 → Focos da hipérbole

d(A,A1) → Medida do eixo real ou seja (4).


Logo vamos ter:


Como está em módulo, podemos tira lo e escrever da seguinte forma.


d(P,F1) - d (P,F) = ± d(A,A1)



Substituindo os valores, temos:



$\sqrt{ {(x + 6)}^{2} + {(y - 1)}^{2} } - \sqrt{ {x}^{2} + {(y - 1)}^{2} } = 4 \\ \\ \sqrt{ {(x + 6)}^{2} + {(y - 1)}^{2} } = 4 + \sqrt{ {x}^{2} + {(y - 1)}^{2} }$
Vamos elevar ambos os lados ao quadrado. Do primeiro lado vamos sumir com a raiz e já vamos desenvolver os produtos notáveis (X+6)² e (Y - 1)². Do outro lado quando elevado ao quadrado de Tbm vamos ter um produto notável bem grande que é [(4 + √x² + (y - 1)²)]²
que também já vou colocar desenvolvido.

Assim temos:


${x}^{2} + 12x + 36 + {y}^{2} - 2y + 1 = 16 + 8 \sqrt{ {x}^{2} + {(y - 1)}^{2} } + {x}^{2} + {y}^{2} - 2y + 1$



Podemos cancelar vários termos, ficando com:


$12x + 36 = 16 + 8 \sqrt{ {x}^{2} + {(y - 1)}^{2} } \\ 12x + 20 = 8 \sqrt{ {x}^{2} + {(y - 1)}^{2} }$

Elevando novamente ao quadrado:

${(12x + 20)}^{2} = {(8 \sqrt{ {x}^{2} + {(y - 1)}^{2} } })^{2} \\ 144 {x}^{2} - 480x + 400 = 64.( {x}^{2} + {y}^{2} - 2y + 1) \\ 144 {x}^{2} + 480x + 400 = 64{x}^{2} + 64 {y}^{2} - 128y + 64 \\ 80 {x}^{2} - 64 {y}^{2} + 480x + 128y + 336 = 0$


Equação da Hipérbole:


80x² - 64y² + 480x + 128y + 336 = 0



Acho que é isso, até eu to com dúvida kkk.


Espero ter ajudado!!