Question

O valor de x na equação 4^x + 2 · 8^x = 2^x é:
A.
Irracional
B.
Racional não inteiro positivo
C.
Racional não inteiro negativo
D.
Racional inteiro positivo
E.
Racional inteiro negativo

Answer 1

O valor de x na equação 4ˣ + 2.8ˣ = 2ˣ é racional inteiro negativo.

Perceba que:

4 = 2²

8 = 2³.

Então, vamos reescrever a equação 4ˣ + 2.8ˣ = 2ˣ:

(2²)ˣ + 2.(2³)ˣ = 2ˣ

$2^{2x}+2.2^{3x}=2^x$

Vamos fazer a substituição y = 2ˣ. Assim, obteremos a equação:

y² + 2.y³ = y

2y³ + y² - y = 0.

Colocando o y em evidência:

y(2y² + y - 1) = 0.

Assim, temos duas opções:

y = 0 ou 2y² + y - 1 = 0.

Da equação do segundo grau 2y² + y - 1 = 0, obtemos y = -1 e y = 1/2.

Agora, vamos testar os três valores obtidos:

Se y = 0, obtemos 2ˣ = 0. Essa equação exponencial não tem solução.

Se y = -1, obtemos 2ˣ = -1. Essa equação exponencial não tem solução.

Se y = 1/2, obtemos 2ˣ = 1/2. Logo, x = -1.

Portanto, a alternativa correta é a letra e).