Question

Questão 3 Quais dos seguintes conjuntos W abaixo são subespaços do R3.a) W = {(1, y, z) e R^3| x= 0}b) W = {(x,y,z) e R^3| x^2+y +z = 0}c) W = {(x, y, z) e R^2| x– 3z = 0}d) W = {(x, y, z) e R^3| x= 1}Em cada caso, verificar cada axioma.​

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Para ser um subespaço do R³, devemos ter  satisfeitas as seguintes condições:

i) o vetor nul o ∈ IR³,

ii) o vetor som a (u1+u2) de dois vet ores de W , ∈ W,

iii) o vetor obtido pelo  produto de um real por um  vetor u, ∈ a U(k u) ,também  ∈ W.

a) W={(x, y, z)  ∈ IR³ / x = 0}

i) 0=(0,0,0)  ∈ W

ii)   w1=(x1,y1,z1)∈ W  w1=(0,y1,z1)  w2=(x2,y2,z2)∈ W  w2=(0,y2,z2) w1+w2=(0,y1,z1)+( 0,y2,z2) = (0, y1+y2 , z1+z2) ∈ W  

iii) kw=k(0, y,z)=(0, ky,kz) ∈ W   Portanto w é um  sub-espaço de R³

b) W={(x, y, z)  ∈ IR³ / x² + y + z  =0} i)

0=(0,0,0)  ∈ W , pois 02+0+0=0  

ii)  ∀ w1=(x1,y1,z1)∈ W  w1= x1²+y1+z1=0       ∀w2=(x2,y2,z2)∈ W  w2= x22+y2+z2=0 w1+w2=( x1,y1,z1)+( x2,y2,z2) = (x1+x2,  y1+y2 , z1+z2) / (x1+x 2)2+( y1+y2 )+(z1+z2)=0   (x12+2 x1.x2+ x22)+(  y1+y2 )+(z1+z2)=0  (x12 +y1+z1)+ (x22 +y2+z2)+(2x1.x2)=0, ∉ w, portanto  não é sub-espaço

c)W={(x, y, z)  ∈ IR³ / x −3z = 0}

i) 0=(0,0,0)  ∈ W , pois 0-3(0)=0, 0=0

ii)   w1=(x1,y1,z1)∈ W  w1= x1-3z1=0    

w2=(x2,y2,z2)∈ W  w2= x2-3z2=0 w1+w2=( x1,y1,z1)+( x2,y2,z2) = (x1+x2,  y1+y2 , z1+z2) / (x1+x 2)+(-3)(z1+z2)=0   (x1+x2)+(-3z1-3z2)=0   (x1-3z1)+( x2-3z2)=0   0+0=0, ∈ W  

iii) kw1=k(x, y,z)=(k x, ky,kz) / kx-3kz =0   k(x-3z)=0   k0=0   0=0, portanto w é um sub -espaço.

d)W={(x, y, z)  ∈IR3 / x = 1}

 i) 0=(0,0,0)    w, pois 1+0+0≠0, então w não é subespaço