Um livro foi numerado a partir da página 1 até uma determinada página, de maneira que a soma dos números das páginas foi de 1830. Quantos algarismos foram usados?
Me esclareça algo: Nº Pág = quantidade de números?
A partir da soma dos números das páginas, como chegar no número total de paginas desse livro? (Não sou iniciante, mas quero entender a lógica ligada a este tipo de questão, portanto fiquem a vontade quanto a linguagem matemática, pois eu entendo. Só peço que sejas claro o suficiente) Obrigado!
Respostas
Resposta:
Foram numeradas: 60 páginas
Algarismos usados: 111
Explicação passo-a-passo:
. Questão para ser resolvida em duas etapas
.
. 1ª: determinar a quantidade n de páginas do livro
.
. Trata-se, inicialmente, de uma Progressão Aritmética.
. em que: a1 = 1, r (razão) = 1, an = ?, n = ?,
. Sn = 1.830
. Termo geral da P.A.:
. an = a1 + (n - 1) . r
. an = 1 + (n - 1) . 1...=> an = 1 + n - 1....=> an = n
.
. Sn = 1.830...=> ( a1 + an) . n / 2 = 1.830
. ( 1 + n ) . n = 2 . 1.830
. n + n² = 3.660
. n² + n - 3.660 = 0 (eq de 2º grau)
.
. a = 1, b = 1, c = - 3.660
. Δ = 1² - 4 . 1 . (- 3.660) = 1 + 14.640 = 14.641
.
. n = ( - 1 ± √14.641 ) / 2 . 1 = ( - 1 ± 121 ) / 2
. n' = (- 1 + 121) / 2 = 120 / 2 = 60
. n" = (- 1 - 121) / 2 = - 122 / 2 = - 61 (NÃO CONVÉM)
.
ENTÃO: foram numeradas 60 páginas = quantidade de
. números
.
. 2ª: quantidade de algarismos usados
.
. páginas de: 1 a 9 = 9 x 1 algarismo = 9 algarismos
. 10 a 60 = 51 x 2 algarismos = 102 algarismos
. TOTAL.... = 111 algarismos
.
(Espero ter colaborado)
Resposta:
É uma PA
1+2+3+4+......=1830
razão =1
an=a1+(n-1)*r
Sn=(a1+an)*n/2
Sn=[a1+a1+(n-1)*1]*n/2=1830
(1+1+n-1)*n/2 =1830
n+n²=3660
n'=60 e n''=-61 ...não existe número de páginas < 0
n=60 páginas
1 a 9 ....foram 9 algarismos
10 a 60 ...foram 2 *51 =102 algarismos
total =9+102 =111 algarismos usados