Question

Na cidade de xovexuva chove sempre três dias na semana , embora nunca chova dois dias seguidos a distribuição dos dias de chuva em cada semana e sempre a mesma , por exemplo se chove em uma segunda feira chove em todas as segundas do mês . De quantas maneiras diferentes podem ser a distribuição dos dias de chuva em uma semana tipica
A)3 B)6 C)7 D)9 E)10

Answer 1

Alternativa D) 9

uma semana tem 7 dias. Além disso, a contagem dos dias se repetem (depois de 7, vem 1)

Dados do problema.

na cidade chove apenas 3 dias.

nunca chove dois dias seguidos.

sempre choverá nos mesmos dias da semana.

Vamos agora detalhar um possível exemplo:

Vamos marcar possíveis formas de chover sabendo que se chove no dia 1.

$\begin{matrix}dias: &1&2&3&4&5&6&7&1\\teste1&x& &x & &x& & &x\\teste2&x& &x & & &x& &x\\teste3&x& & &x& &x& &x\\\end{matrix}$

Isto totaliza 3 formas distintas.

Perceba que qualquer outra combinação levará a dois dias de chuva consecutivos.

podemos também ver para obter as chuvas que comecem no segundo dia. Para isto, basta "rotacionar" os dias.

$\begin{matrix}dias: &2&3&4&5&6&7&1&2\\teste1&x& &x & &x& & &x\\teste2&x& &x & & &x& &x\\teste3&x& & &x& &x& &x\\\end{matrix}$

dando mais 3 possibilidades distintas

já quando se começa a contar no terceiro dia:

$\begin{matrix}dias: &3&4&5&6&7&1&2&3\\teste1&x& &x & &x& & &x\\teste2&x& &x & & &x& &x\\teste3&x& & &x& &x& &x\\\end{matrix}$

note que a segunda e terceira linha de quando começa a contar no dia três são identicas às do dia 1.

então, começandono dia três, temosapenas mais 1 possibilidade distinta.

Podemos então escrever os dia que ocorrem as chuvas desta forma simplificada, em um total de duas semanas

$\begin{matrix}este1&1&3&5&1&3&5\\ teste2&1&3&6&1&3&6\\ teste3&1&4&6&1&4&6\\\\ teste4&2&4&6&2&4&6\\ teste5&2&4&7&2&4&7\\ teste6&2&5&7&2&5&7\\\\ teste7&3&5&7&3&5&7\\(teste8)&3&5&1&(repete\, o\, teste\, 1!)\\ teste8&4&6&1&4&6&1\\ teste9&5&7&1&5&7&1\\ \end{matrix}$

como vimos antes, para cada dia inicial, existem 3 possibilidades.

podemos ver que ao começar a contar do dia 6, estes casos serão repetição dos testes 2, 3 e 4

portanto só há 9 possibilidades. alternativa D)