Question

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pares (x, y) tais que $a)1\leq x\leq 3\ e\ 0\leq y\leq x.\\\\b)\frac{1}{2} \le x\le 2\ e\ 0\le y\le\frac{1}{x^2} .\\\\c)1\le x\le 4\ e\ 0\le y\le\sqrt{x}. \\\\d)2x^2+y^2\le1\ e\ y\geq 0.\\\\e)y\ge0,1\le x\le 2\ e\ x^2-y^2\ge1.\\\\f)0\le x\le1\ e \sqrt{x} \le y\le3. \\\\g)x^2\le y\le x.\\\\h)0\le y\le x \ e\ x^2+y^2\le2.\\\\i)y\ge x^2\ e\ x^2+y^2\le 2.\\\\j)1\le x^2+y^2\le 4\ e\ y\ge 0. \\\\h)\frac{1}{x} \le y\le 1\ e\ 1\le x\le 2.\\\\m)x ^2+(y-2)^2\le1.$

Answer 1

Resposta:

Explicação:

Vou fazer a a) e a g). Com essas duas já vai te dar uma boa ideia do processo para resolver as outras.

a) A figura resultante vai ser um trapézio limitado lateralmente (em x) pelas retas x=1 e x=3, e limitado na altura (em y) pelas retas y=0 e y=x. Esse trapézio vai girar no eixo x. Podemos imaginar que o volume diferencial desse sólido gerado vai ser dado por:

dV = π.y².dx (disco de raio y e altura dx)

O volume total se dará pela integração de dV em x entre 1 e 3

V = ∫π.y².dx (entre 1 e 3)

perceba que y varia com x segundo a equação y = x. Logo:

V = ∫π.x².dx = π.x³/3 (entre 1 e 3)

V = π.3³/3 - π.1³/3 = π.27/3 - π.1/3 = 26.π/3

g) Nesse exercício a figura resultante está entre as funções y = x e y = x². Repare que as interseções entre essas figuras ocorrem para x = 0 e x = 1. Estes serão nossos limites de integração. Nesse caso vamos resolver por diferença entre o volume gerado por y = x e o volume gerado por y = x².

dV₁ = π.y².dx

V₁ = ∫π.y².dx     ;      mas y = x

V₁ = ∫π.x².dx = π.x³/3 (entre 0 e 1)

V₁ = π/3

dV₂ = π.y².dx

V₂ = ∫π.y².dx     ;      mas y = x²

V₂ = ∫π.x⁴.dx = π.x⁵/5 (entre 0 e 1)

V₂ = π/5

V = V₁ - V₂ = π/3 - π/5 = (5.π - 3.π)/15 = 2.π/15