Question

Considere as seguintes afirmações acerca das derivadas descritas a seguir.



(0) Toda função contínua em x =x0 é derivável em x = x0 .

(1) Toda função derivável num ponto x =x0 é contínua em tal ponto.

(2) A função f(x) = x² + 2x + 1 é derivável em todo conjunto dos números reais.

(3) a função f(x) = x – 4 x2 + 2 é contínua no ponto x=1.

(4) A derivada de uma função y = f(x) é a função denotada por f ’(x).





Desta forma, a soma das afirmações corretas é:
Escolha uma:
a. 8
b. 5.
c. 10
d. Zero.
e. 7.

Answer 1

a soma das afirmações verdadeiras é 10. portanto letra c)

(0) Falso, Para isto tome como exemplo a função módulo de x.

Está função é contínua no ponto zero, mas não possui derivada neste ponto.

(1)Verdadeiro.

Pela definição de derivada:

A função é dita diferencial em todos os seus pontos quando para cada ponto a $f`(x) =\frac{ f(x)-f(a) }{x-a}$

Pela definição de continuidade

dizemos que $f(x)$ é contínua quando para todo $\epsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que $|x-x_0|<\delta \rightarrow |f(x) - f(x_0)|<\epsilon$

Logo, toda função que admite derivada em um ponto é contínua neste ponto.

(2) verdadeiro

toda função polinomial é derivável em todos os seus pontos.

para perceber isto, basta tomar o termo de maior ordem e aplicar a propriedade $\frac{d^k}{dx^k}x^n*(n-1)*...*(n-k)$.

(3) a função $f(x) = x - 4x^2 +2$ é derivável em todo os pontos. por consequencia, é continua em $x=1$

(4) verdadeiro.

esta notação é uma definição adotada para representar a função derivada.