Question

Uma função de variável real satisfaz a condição f(x + 2) = 2f(x) + f(1), qualquer que seja a variável x. Sabendo-se que f(3) = 6, determine o valor de:

a) f(1) 2

b) f(5) 14

Answer 1

De acordo com as condições dadas na tarefa, temos $\mathsf{f(1)=2} \textsf{ e } \mathsf{f(5)=14.}$

É dada a condição $\mathsf{f(x+2)=2f(x)+f(1)}$ qualquer que seja a variável $\mathsf{x.}$

Queremos determinar $\mathsf{f(2)} \textsf{ e } \mathsf{f(5).}$

Note que:

$\mathsf{f(1+2)=2f(1)+f(1)} \implies \\\ \implies \mathsf{f(3)=3f(1)} \implies \mathsf{6=3f(1)} \implies \\ \implies \mathsf{f(1)=2}.$

Perceba também que:

$\mathsf{f(3+2)=2f(3)+f(1)} \implies \\ \implies \mathsf{f(5)=2 \cdot 6 + 2} \implies \\ \implies \mathsf{f(5)= 12 + 2} \implies \mathsf{f(5)=14}$

Ou seja, $\mathsf{f(1)=2} \textsf{ e } \mathsf{f(5)=14.}$

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

Letra A

Vou reescrever f(3) como f(1 + 2). Se compararmos 1 + 2 com o x + 2 original da equação, podemos ver que o 1 está exatamente no lugar de x. Ou seja, quando escrevemos f(3), isso quer dizer que x vale 1. Substituindo x = 1 na fórmula,

$f(1 + 2)=6=2f(1) + f(1)=3f(1) \Rightarrow$

$\Rightarrow f(1)={6 \over 3}=2$

Letra B

Agora que já sabemos que f(1) = 2 e f(3) = 6, podemos calcular f(5) = f(3 + 2) = 2f(3) + f(1) = (2x6) + (2) = 12 + 2 = 14