Question

Sabendo que sinX-cosX=raiz(2) quanto vale sin (2X)?

Answer 1

$\displaystyle \mathsf{ \sin(x) - \cos(x) = \sqrt{2} \: \: (1)} \\ \displaystyle \mathsf{ \sin(x) = \sqrt{2} + \cos(x) \: \: (2)}$

Sabemos também que:

sen²(x) + cos²(x) = 1 (3)

Substituindo (2) em (3):

$\displaystyle \mathsf{( \sqrt{2} + \cos(x))^{2} + \cos^{2} (x) = 1} \\ \displaystyle \mathsf{ 2 + 2 \sqrt{2} \cos(x) + \cos^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1} \\ \displaystyle \mathsf{ 2 \cos^{2} (x) + 2 \sqrt{2} \cos(x) + 1 = 0}$

Se chamarmos cos(x) de y, temos:

$\displaystyle \mathsf{2y^{2} + 2 \sqrt{2}y + 1 = 0}$

Calculando as raízes, encontramos

$\displaystyle \mathsf{ y = - \frac{ \sqrt{2} }{2} }$

Então:

$\displaystyle \mathsf{ \cos(x) = - \frac{ \sqrt{2} }{2}}$

Substituindo o valor de cos(x) em (3):

$\displaystyle \mathsf{ \sin^2(x) + ( - \frac{ \sqrt{2} }{2})^2 = 1 } \\ \displaystyle \mathsf{ \sin^{2} (x) = 1 - \frac{1}{2}} \\ \displaystyle \mathsf{ \sin^{2} (x) = \frac{1}{2}} \\ \displaystyle \mathsf{ \sin(x) = \pm \: \frac{ \sqrt{2} }{2}}$

Apesar de termos encontrado duas soluções para o seno, vamos utilizar apenas o positivo, porque quando utilizamos o negativo, (1) torna-se igual a zero.

Com o seno e cosseno encontrados, podemos, finalmente, calcular sen(2x).

$\displaystyle \mathsf{ \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) } \\ \displaystyle \mathsf{ \sin(2x) = 2 \frac{ \sqrt{2} }{2}( - \frac{ \sqrt{2} }{2} ) } \\ \displaystyle \mathsf{ \sin(2x) = - \frac{4}{4} = - 1}$

Resposta: -1