Question

Sabendo que log2 = 0,301, log3 = 0,477 e log5=0,699, resolva as equações exponenciais. a) 3^x-1 = 5 b) 30^x =100 c) 20^x =3^x-2 d) 6^x+1 = 9^x/2

Answer 1

As soluções das equações exponenciais são: a) 2,465, b) 1,354, c) -1,158, d) -2,585.

a) Na equação exponencial 3ˣ⁻¹ = 5, podemos dizer que:

log(3ˣ⁻¹) = log(5).

O expoente de 3 multiplicará o logaritmo, ou seja:

(x - 1)log(3) = log(5).

Assim: x - 1 = log(5)/log(3).

Com os valores dados no enunciado, podemos concluir que:

x - 1 = 0,699/0,477

x - 1 = 1,465408805

x ≈ 2,465.

b) Da mesma forma, temos que:

log(30ˣ) = log(100)

xlog(30) = log(100).

Entretanto, 30 = 3.10 e 100 = 10². Então:

xlog(3.10) = log(10²)

xlog(3.10) = 2log(10)

No lado esquerdo, podemos utilizar a propriedade da soma de logaritmos de mesma base:

x(log(3) + log(10)) = 2log(10).

Como log(10) = 1, podemos concluir que:

x(0,477 + 1) = 2.1

1,477x = 2

x = 2/1,477

x ≈ 1,354.

c) Temos que:

log(20ˣ) = log(3ˣ⁻²)

xlog(20) = (x - 2)(log(3)).

Como 20 = 2.10, então:

x(log(2) + log(10) = (x - 2)(log(3))

x(log(2) + 1) = (x - 2)(log(3))

x(0,301 + 1) = (x - 2).0,477

0,301x + x = 0,477x - 0,954

1,301x - 0,477x = -0,954

0,824x = -0,954

x ≈ -1,158.

d) Por fim, temos que:

(x + 1).log(6) = x/2(log(9)

Como 6 = 2.3 e 9 = 3², então:

(x + 1).log(2.3) = x/2(log(3²))

(x + 1)(log(2) + log(3) = xlog(3)

(x + 1)(0,301 + 0,477) = 0,477x

(x + 1).0,778 = 0,477x

0,778x + 0,778 = 0,477x

0,301x = -0,778

x ≈ -2,585.