Question

Considere dois polígonos regulares, respectivamente com n e n + 1 lados, respectivamente. Sabendo que a medida do ângulo interno de um deles excede a medida do ângulo interno do outro em 5º, quais são esses polígonos?

Answer 1

Não existem polígono que obedeçam essas regras.

Para um polígono regular, podemos encontrar um ângulo interno ao dividir a soma dos ângulos internos pelo número de lados do polígono.

A soma dos ângulos internos de um polígono regular é $S_i=(n-2)\times180^\circ$

Então, um ângulo interno do polígono será dado pela divisão

$\dfrac{(n-2)\times180^\circ} {n}$

Seja agora outro polígono com $n+1$ lados.

Um ângulo interno do polígono de lado $(n+1)$ será dado por

$\dfrac{((n+1)-2)\times180^\circ} {n+1}= \dfrac{(n-1)\times180^\circ} {n+1}$

" Sabendo que a medida do ângulo interno de um deles excede a medida do ângulo interno do outro em 5º "

Isto significa que a diferença dos ângulos é de 5º.

Efetuando a diferença entre os ângulos internos dos dois polígono, teremos

$\dfrac{(n-2)\times180^\circ} {n}</p><p>-\dfrac{(n-1)\times180^\circ} {n+1}=\\\\\\\dfrac{(n+1)(n-2)\times180^\circ-n(n-1)\times180^\circ} {n(n+1)}=\\\\\\</p><p>\dfrac{((n+1)(n-2)-n(n-1)) \times180^\circ} {n(n+1)}=\\\\\\</p><p>\dfrac{(n^2-n-2-n^2+n) \times180^\circ} {n(n+1)}=\\\\\\</p><p>\dfrac{(-2) \times180^\circ} {n(n+1)}\\</p><p></p><p>$

Como é dito que a diferença é igual a 5º, então

$\dfrac{(-2) \times180^\circ} {n(n+1)}=5^\circ\\\\\\</p><p>(-2) \times180^\circ =n(n+1)5^\circ\\\\\\</p><p>-360^\circ=5^\circ n^2+5^\circ n\\\\\\</p><p>5^\circ n^2+5^\circ n+360^\circ=0\\\\\\</p><p>n^2+n+72^\circ=0</p><p>$

Para encontrar o número de lados deste polígono, basta resolver esta equação de segundo grau.

Podemos resolver por bhaskara:

$x=-b\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$x=-1\pm\frac{\sqrt{1^2-4\times72}}{2}$

Answer 2

Resposta:

Explicação passo-a-passo: