Question

Determine o limite da soma da série convergente 4/5 + 4/10 + 4/20 ...​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\mathtt{8/5}}$

Explicação passo-a-passo:

$\\ \displaystyle \mathsf{\frac{4}{5} + \frac{4}{10} + \frac{4}{20} + \cdots = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{4}{5 \cdot 2^{n - 1}}} \\\\\\ \mathsf{\frac{4}{5} \cdot \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{2^{n - 1}} = \frac{4}{5} \cdot \left ( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots + \frac{1}{2^{n - 1}} \right )}$  

Note que o fator entre parênteses corresponde a uma PROGRESSÃO GEOMÉTRICA cuja razão é $\displaystyle \mathtt{1/2}$.

Sabemos que a soma dos termos de uma P.G é dada por

$\displaystyle \boxed{\mathtt{S_n = \frac{a_1}{1 - q}}}$

Onde q é a razão.

Isto posto,

$\displaystyle \mathsf{S_n = \frac{a_1}{1 - q} = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 1 \div \frac{1}{2} = 1 \times \frac{2}{1} = \boxed{\mathsf{2}}}$

Por fim,

$\\ \displaystyle \mathsf{\frac{4}{5} + \frac{4}{10} + \frac{4}{20} + \cdots = \frac{4}{5} \cdot \underbrace{\mathsf{\left ( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots + \frac{1}{2^{n - 1}} \right )}}_{2}} \\\\\\ \mathsf{\frac{4}{5} + \frac{4}{10} + \frac{4}{20} + \cdots = \frac{4}{5} \cdot 2} \\\\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{\frac{4}{5} + \frac{4}{10} + \frac{4}{20} + \cdots = \frac{8}{5}}}}$