Question

Qualquer triângulo inscrito numa semicircunferência é retângulo. Neste triângulo, a hipotenusa é o diâmetro. Nessas condições, determine o comprimento r do raio da circunferência ao lado.
Eu fiz da seguinte maneira:
(O)^2= (2√3)^2 + (2)^2 =
O^2= 12+4
O^2= 16
O= √ 16
O= 4

Porém não sei como determinar o comprimentro r do raio da circunferência.

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Answer 1

Vamos usar as relações trigonométricas.

Vou chamar o ângulo com vértice em A de alpha.

$seno( \alpha ) = \frac{cateto \: oposto}{hipotenusa} \\ \\ seno( \alpha ) = \frac{2}{2r} = \frac{1}{r} \\ \\ \\ cosseno( \alpha ) = \frac{cateto \: adjacente}{hipotenusa} \\ \\ cosseno( \alpha ) = \frac{2 \sqrt{3} }{2r} = \frac{ \sqrt{3} }{r}$

Agora vamos usar a relação fundamental da trigonometria:

$seno {}^{2} ( \alpha ) + cosseno {}^{2} ( \alpha ) = 1 \\ \\ \\ ( \frac{1}{r} ) {}^{2} + ( \frac{ \sqrt{3} }{r} ) {}^{2} = 1 \\ \\ \frac{1}{ {r}^{2} } + \frac{3}{ {r}^{2} } = 1 \\ \\ \\ ( \frac{1 + 3}{r {}^{2} } ) = 1 \\ \\ \frac{4}{ {r}^{2} } = 1 \\ \\ 4 = r {}^{2} \\ \\ {r}^{2} = 4 \\ \\ \sqrt{ {r}^{2} } = |± \sqrt{4} | \\ \\ r = 2$

A conta que você fez també está certa no pensamento, e é até mais simples. Você usou o Teorema de Pitágora.

Contudo, o que você achou foi a medida do diâmetro, que é todo o segmento. O raio é metade do diâmetro.

Você pode fazer da seguinte maneira.

Já que o diâmetro é o dobro do raio, podemos escrever a função em função do raio.

$|AB| {}^{2} = |BC| {}^{2} + |AC| {}^{2} \\ \\ (2r) {}^{2} = 2 {}^{2} + (2 \sqrt{3} ) {}^{2} \\ \\ 4 {r}^{2} = 4 + 12 \\ \\ 4 {r}^{2} = 16 \\ \\ \frac{4 {r}^{2} }{4} = \frac{16}{4} \\ \\ {r}^{2} = 4 \\ \\ \sqrt{ {r}^{2} } = \sqrt{4} \\ \\ r = 2$