Question

Olá, estou estudando para concursos e me deparei com esta questão:

Uma determinada empresa aérea apresentou o orçamento de uma aeronave com capacidade para 150 passageiros. Cobrava de cada passageiro R$ 300,00 mais uma taxa R$ 25,00 por poltrona não ocupada.

Analisando as informações acima calcule quantas passagens a empresa aérea deverá deixar de vender para obter maior rentabilidade.

A) 64
B) 96
C) 81
D) 78
E) 69


Gostaria muito que alguém pudesse me ensinar como resolver, não quero somente a resposta, obrigado.

Answer 1

Resposta:

E) 69

Explicação passo-a-passo:

Seja x o número de passageiros e C o custo, com as informações fornecidas pelo enunciado poderemos estabelecer a seguinte relação:

O custo C em função do número de passageiros x é dado pela seguinte função:

$C(x)=x(300+25(150-x))$

Expandindo-a

$C(x)=x(300+25(150-x)) \Rightarrow C(x)=300x+25x(150-x) \Rightarrow \\\\ \Rightarrow C(x)=300x+3750x-25x^2 \Rightarrow \\\\ \Rightarrow C(x)=-25x^2+4050x$

observe que a nossa função possui o coeficiente angular menor que zero (a < 0), logo possui um ponto de máximo. Este ponto de máximo da nossa parábola nos fornecerá justamente a rentabilidade máxima da empresa.

Os pontos de máximo ou de mínimo de uma função do segundo grau (dependendo do coeficiente a), ou vértice, são dados por:

$V=(x_v,y_v)=(\frac{-b}{2a},\frac{</em><em>-</em><em>\Delta}{4a})$

Observe que o que a gente procura é o $x_v$, que nos dá a quantidade máxima de passagens que a empresa deve vender para obter lucro máximo, logo

$x_v=\frac{-b}{2a}=\frac{-4050}{2(-25)}=\frac{-4050}{-50}=81$

Portanto, a quantidade máxima de passagens que a empresa deverá vender para obter lucro máximo é igual a 81. No entanto a questão pede a quantidade de passagens que empresa deixará de vender, então, como ela possui disponíveis 150 passagens e venderá 81 para obter lucro máximo, tem-se que  $150-81=69$. Ou seja, a empresa deixará de vender 69 passagens para obter rentabilidade máxima.