O produto de quatro números em PG crescente é 32, o valor da soma dos quadrados do extremos é 18. Determine o segundo termo dessa sequência.
Respostas
O segundo termo dessa sequência é 8√2.
Vale lembrar que o termo geral de uma progressão geométrica é dado pela fórmula aₙ = a₁.qⁿ⁻¹.
A progressão geométrica possui 4 termos. Então, vamos considerar que a PG é (a₁, a₁.q, a₁.q², a₁.q³).
De acordo com o enunciado, o produto dos quatro termos é igual a 32. Logo:
a₁.a₁.q.a₁.q².a₁.q³ = 32
a₁⁴.q⁶ = 32
q⁶ = 32/a₁⁴.
Além disso, temos a informação de que a soma dos quadrados dos extremos é 18:
(a₁)² + (a₁.q³)² = 18
a₁² + a₁².q⁶ = 18.
Substituindo o valor de q⁶ na equação acima:
a₁² + a₁².32/a₁⁴ = 18
a₁² + 32/a₁² = 18
a₁⁴ + 32 - 18a₁² = 0
Resolvendo a equação, obtemos 4 valores para a₁: -4, -√2, √2 ou 4.
Se a₁ = -4, então q = 0,125 → PG (-4, -0,5, -0,0625, -0,0078125)
Se a₁ = -√2, então q = 8 → PG (-√2, -8√2, -64√2, -512√2)
Se a₁ = √2, então q = 8 → PG (√2, 8√2, 64√2, 512√2)
Se a₁ = 4, então q = 0,125 → PG (4, 0.5, 0.0625, 0.0078125).
Como a PG é crescente, então com as sequências acima, podemos afirmar que a₁ = √2 e q = 8.
Portanto, o segundo termo será 8√2.