Question

Dadas as equações das circunferências abaixo, qual a distância linear mínima entre as duas:

circ. 1: x^2+y^2+2x+y+1=0

circ. 2: x^2+y^2-2x-3y+1=0

por favor!!!!

Answer 1

A distância entre as duas circunferências é igual a √5 - 2.

A equação reduzida de uma circunferência com centro no ponto C = (x₀,y₀) e raio r é igual a (x - x₀)² + (y - y₀)² = r².

Vamos escrever as equações das circunferências na forma reduzida.

Para isso, precisamos completar quadrado.

Sendo x² + y² + 2x + y + 1 = 0, temos que:

x² + 2x + 1 + y² + y + 1/4 = -1 + 1 + 1/4

(x + 1)² + (y + 1/2)² = 1/4.

Logo, o centro é C₁ = (-1,-1/2) e o raio é r₁ = 1/2.

Sendo x² + y² - 2x + 3y + 1 = 0, temos que:

x² - 2x + 1 + y² + 3y + 9/4 = -1 + 1 + 9/4

(x - 1)² + (y + 3/2)² = 9/4.

Logo, o centro é C₂ = (1,-3/2) e o raio é r₂ = 3/2.

Vamos calcular a distância entre os dois centros:

d² = (1 + 1)² + (-3/2 + 1/2)²

d² = 2² + (-1)²

d² = 4 + 1

d² = 5

d = √5.

Somando os dois raios, obtemos: 1/2 + 3/2 = 4/2 = 2.

Como √5 > 2, então as circunferências são externas.

Sendo assim, a distância entre as duas circunferências é igual a: √5 - 1/2 - 3/2 = √5 - 4/2 = √5 - 2.