Question

Resolva as equações diferenciais:

a) $2ye^{y2}\frac{dy}{dx} =2x+3\sqrt{x}$

b)$\frac{dx}{dt} =1-t+x-tx$

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

a) Note que a Equação diferencial em questão é separável, então...

$\\ \displaystyle \mathsf{2y \cdot e^{y^2} \ \frac{dy}{dx} = 2x + 3\sqrt{x}} \\\\\\ \mathsf{e^{y^2} \cdot 2y \ dy = \left ( 2x + 3x^{\frac{1}{2}} \right ) \ dx} \\\\\\ \mathsf{\int e^{y^2} \cdot 2y \ dy = \int \left ( 2x + 3x^{\frac{1}{2}} \right ) \ dx}$

Para solucionar a integral a esquerda do símbolo de igualdade, basta fazer uma substituição simples. Veja:

Tome $\displaystyle \boxed{\mathtt{y^2 = \delta}}$, isto implica que $\displaystyle \boxed{\mathtt{2y \ dy = d\delta}}$. Daí,

$\\ \displaystyle \mathtt{\int e^{y^2} \cdot 2y \ dy = \int e^{\delta} \ d\delta} \\\\ \mathtt{\qquad \qquad \quad \ \ = e^{\delta} + c} \\\\ \mathtt{\qquad \qquad \quad \ \ = e^{y^{2}} + c}$

Por conseguinte,

$\\ \displaystyle \mathsf{\int e^{y^2} \cdot 2y \ dy = \int \left ( 2x + 3x^{\frac{1}{2}} \right ) \ dx} \\\\\\ \mathsf{e^{y^2} = x^2 + 3 \cdot \frac{2}{3} \cdot x^{\frac{3}{2}} + C} \\\\ \mathsf{log_e \left ( x^2 + 2\sqrt{x^3} + C \right ) = y^2} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{y = \sqrt{\ln \left ( x^2 + 2x\sqrt{x} + C \right )}}}}$

b) Para resolver esta ED, aplicamos raciocínio análogo. No entanto, devemos fazer algumas manipulações. Segue,

$\\ \displaystyle \mathsf{\frac{dx}{dt} = 1 - t + x - tx} \\\\\\ \mathsf{\frac{dx}{dt} = (1 - t) + x \cdot (1 - t)} \\\\\\ \mathsf{\frac{dx}{dt} = (1 - t) \cdot (1 + x)} \\\\\\ \mathsf{\frac{1}{1 + x} \ dx = (1 - t) \ dt} \\\\\\ \mathsf{\int \frac{1}{1 + x} \ dx = \int (1 - t) \ dt}$

$\\ \displaystyle \mathsf{\ln |1 + x| = t - \frac{t^2}{2} + c} \\\\ \mathsf{e^{t - \frac{t^2}{2} + c} = 1 + x, \qquad \qquad - 1 < x < \infty} \\\\ \mathsf{x = e^{t - \frac{t^2}{2}} \cdot e^c - 1} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{x = Ce^{t - \frac{t^2}{2}} - 1}}}$