Question

Um objeto de massa m que se move em uma trajetória circular com velocidade angular constante w tem um vetor posição
r(t)= a*coswt î + a*senwt ^j
Determine a força que age sobre o objeto e mostre que sua direção e sentido são dados pela reta que passa pela origem, apontando em direção a origem.

Answer 1

Se o objeto tem massa $m$ e descreve uma trajetória circular de raio $a$ com velocidade angular $\omega$, o seu vetor-posição é:

$\vec{r}(t) = a\cos(\omega t)\hat{i} + a\sin(\omega t)\hat{j}.$

A velocidade é dada pela 1.ª derivada da posição:

$\vec{v}(t) = \dot{\vec{r}}(t) = \dfrac{\textrm{d}\vec{r}(t)}{\textrm{d}t} = -a\omega\sin(\omega t)\hat{i} + a\omega\cos(\omega t)\hat{j},$

onde se utilizou:

• $\dfrac{\textrm{d}}{\textrm{d}t}\left[\sin(\omega t)\right] = \underbrace{\dfrac{\textrm{d}\sin(\omega t)}{\textrm{d}(\omega t)}}_{=\cos(\omega t)}\times \underbrace{\dfrac{\textrm{d}(\omega t)}{\textrm{d}t}}_{=\omega} = \omega\cos(\omega t).$
• $\dfrac{\textrm{d}}{\textrm{d}t}\left[\cos(\omega t)\right] = \underbrace{\dfrac{\textrm{d}\cos(\omega t)}{\textrm{d}(\omega t)}}_{=-\sin(\omega t)}\times \underbrace{\dfrac{\textrm{d}(\omega t)}{\textrm{d}t}}_{=\omega} = -\omega\sin(\omega t).$

A aceleração é dada pela 2.ª derivada da posição:

$\vec{a}(t)=\ddot{\vec{r}}(t) = \dot{\vec{v}}(t)=\dfrac{\textrm{d}\vec{v}(t)}{\textrm{d}t} = -a\omega^2\cos(\omega t)\hat{i} - a\omega^2\sin(\omega t)\hat{j},$

onde se utilizaram uma vez mais as derivadas acima.

Da 2.ª lei de Newton, a força que atua sobre o objeto é:

$\vec{F} = m\vec{a} = -ma\omega^2\cos(\omega t)\hat{i} - ma\omega^2\sin(\omega t)\hat{j}.$

Utilizando coordenadas polares, o versor radial é dado por:

$\hat{r} = \cos\varphi\hat{i}+\sin\varphi\hat{j},$

sendo $\varphi = \omega t$ o ângulo polar. Assim, a força pode ser escrita como:

$\vec{F} = -ma\omega^2\cos\varphi\hat{i} - ma\omega^2\sin\varphi\hat{j} = -ma\omega^2\underbrace{\left(\cos\varphi\hat{i}+\sin\varphi\hat{j}\right)}_{=\hat{r}} = -ma^2\omega\hat{r}.$

Fica assim provado que a direção da força é sempre radial. O seu sentido é tal que aponta sempre para a origem, o que é traduzido pela presença do sinal $-$.